Tübitak Lise Takım Seçme 2014 Soru 4

[geo]

$n \mid 3m + 1$ ve $m \mid n^2+3$ koşullarını sağlayan tüm $(m,n)$ pozitif tek sayı ikililerini bulunuz.

(Şahin Emrah)

[osman211]

öncelikle 

3m+1=nk  ve  n²+3=mp    olcak sekilde sayilar vardir burdan ikisini birleştirerek

3n²-pnk+9+p=0  denklemini  diskriminantının tam kare olması gerektiği açıktır burdan

(pk)²-y²-12p=108   seklinde düzenlersek


((pk)²-y²)/12p=9/p+1   


9/p ifadesi için p=1,3,9 değerleri alınabilir burdan p=1 için orneğin

k²-y²=120   olur  en basitinden  k=31 denklemi sağlar


 3n²-pnk+9+p=0    denkleminde k=31 ve p=1 değerleri için n=10 m=103 (n,m)=(10,103) bulunur

benzer sekilde (n,m)=(20,13)  ikilisi daha cok ikili bulunabilir ama cozum sinirli