Genç Balkan Matematik Olimpiyatı 2019 Soru 1

[Metin Can Aydemir]

$$x^p+y^p+z^p-x-y-z$$ ifadesinin tam olarak $3$ farklı asal sayının çarpımı olmasını sağlayan bir $(x,y,z)$ pozitif tam sayı üçlüsünün var olduğu tüm $p$ asal sayılarını bulunuz.

[berksel03]

Cevap: $ p=2, p=3 , p=5$
Fermat teoremine göre, $x^p-x \equiv 0 \pmod{p}$, ayrıca $x^p-x \equiv 0 \pmod{2}$ ve $p > 2$ için $p$ tek olacağından $x^p-x \equiv 0 \pmod{3}$.
Böylece $p > 3$ asalları için ifadenin 3 asal çarpanını bulmuş olduk. $p>3$ için, $x^p+y^p+z^p-x-y-z$ $=$ $6p$. $p=2$ ve $p=3$ durumlarını sonra inceleyeceğiz.
Eşitsizlik kurmaya çalışalım. $x=y=z=1$ için denklem sağlanmayacağından, herhangi biri $1$'den büyük olmalıdır. $x^p+y^p+z^p-x-y-z \geq 2^p-2$
$6p \geq 2^p-2$ $(1)$.   $p=5$ için eşitlik sağlanır. Ayrıca bu bize $(1,1,2)$ üçlüsünün denklemi sağladığı sonucunu da verir. $p>5$ için ise $(1)$ numaralı eşitsizlik sağlanmaz.
$p=2$ ve $p=3$ için bakalım.Birkaç deneme yanılma sonucu $p=2$ için $(1,1,6)$, $p=3$ için ise $(1,2,3)$ üçlüsü denklemi sağladığı görülür.