Avrupa Kızlar Matematik Olimpiyatı 2017 Soru 2

[Lokman Gökçe]

$k$ pozitif tam sayısının hangi en küçük değerinde $\mathbb Z_{>0}$ pozitif tam sayılar kümesinin $k$ renge boyanması ve aşağıdaki iki koşulu sağlayan bir $f:\mathbb Z_{>0} \to \mathbb Z_{>0} $ fonksiyonunun bulunması mümkündür?

    $\text{(i)}$ aynı renge boyanmış tüm $m,n$ pozitif tam sayıları için $f(m+n)=f(m)+f(n)$.
    $\text{(ii)}$ $f(m+n) \neq f(m)+f(n)$ koşulunu sağlayan $m,n$ pozitif tam sayıları vardır.

Not: $\mathbb Z_{>0}$ nin $k$ renge boyanmasında her pozitif tam sayı $k$ renkten tam olarak birine boyanıyor. $\text{(i)}$ ve $\text{(ii)}$ koşullarındaki $m,n$ pozitif tam sayıları farklı olmak zorunda değildir.