$x^2+1=m$ ve $y^2+1=n$ olsun.
$(m-2)^2\ge 0\Longrightarrow 2m\ge m+ 2\sqrt{m-1}$ bulunur ve aynısı $n$ için yapılıp çarpılırsa,
$4mn\ge (m+ 2\sqrt{m-1})(n+ 2\sqrt{n-1})$ elde ederiz. Eşitsizlikte $x$ ve $y$ yi yerine yazarsak,
$4(x^2+1)(y^2+1)\ge (x+1)^2(y+1)^2$ elde ederiz. İfadenin kökünü alıp 2 ile çarparsak,
$4\sqrt{(x^2+1)(y^2+1)}\ge 2xy+2x+2y+2$ bulunur. Bu işlemi $(y,z)$ ve $(z,x)$ ikililerinde yapıp toplarsak,
$4\sum\sqrt{(x^2+1)(y^2+1)}\ge 2\sum{xy}+4\sum{x}+6$ bulunur. Her tarafa $2\sum{x^2}+6$ ekleyip düzenlersek,
$2\sum{x^2}+4\sum\sqrt{(x^2+1)(y^2+1)}+6\ge\sum{(x+y)^2}+4\sum{x}+12$ elde ederiz. Buradan,
$\dfrac{1}{2}\leq \dfrac{\sum{x^2}+2\sum{\sqrt{(x^2+1)(y^2+1)}}+3}
{\sum{(x+y)^2}+4\sum{x}+12}=\dfrac{(\sum{\sqrt{x^2+1}})^2}{\sum{(x+y)^2}+4\sum{x}+12}$ bulunur.
İlham's Cauchy-Schwarz Eşitsizliği'nden bu ifade soruda verilen ifadeden küçüktür ve bu da ispatı tamamlar.
Eşitlik durumu $(1,1,1)$ dir.