Toplayalım, $2b(1-ab)$ gelir. Bu ifadenin $a^2+b^2$'ye bölünebilmesi için $a$=$bk$ olmalıdır.
Neden?
Evet o olmamış sanki onun yerine
$(a,b)$
ebob=$m$
$a$=$xm$
$b$=$ym$ deyip toplamlarından $m$
2($x$
2+$y$
2)|2$ym$($1$-$m$
2$xy$)
farklarından $m$
2($x$
2+$y$
2)|2$xm$($m$
2$xy$-$1$) yazalım.
$m$($x$
2+$y$
2)|2$y$($1$-$m$
2$xy$), $m$($x$
2+$y$
2)|2$x$($m$
2$xy$-$1$)'dir.
$m$; ($m$
2$xy$-$1$), $x$, $y$ ile aralarında asal olduğundan $m$=$1$ veya $m$=$2$'dir.
$2$ olamaz çünkü ilk ifadelerde $a$ ve $b$'yi yazarsak $4$($x$
2+$y$
2) ifadesi $4$'e bölünürken $8x$
3+$2y$ ve $2x$+$8y$
3 ifadeleri $4$'e bölünemez.
O halde $m$=$1$'dir.
Aralarında asal olan $a$, $b$ sayıları için $a$
2+$b$
2|$2b(1-ab)$ ifadesi sadece $2b(1-ab)$=$0$ için sağlayacağından ($a$
2+$b$
2, $b$ ile aralarında asal ve $a$
2+$b$
2>|$2$-$2ab$| olduğundan) $ab$=$1$'dir. Bunu sağlayan tek pozitif tam sayı ikilisi $a$=$1$ ve $b$=$1$'dir.