$(k_2 = 1, N = 1.2)$ Kesen Problemi

[geo]

$ABC$ üçgeninin $BC$ kenarı üzerinde $AB = CD$ olacak şekilde bir $D$ noktası alınıyor. $2(\angle ABC + \angle ACB) = 3\angle ADB$ ise $\angle DAC = \angle ACB$ olduğunu gösteriniz.

[geo]

$\angle ADB = \alpha$ ve $\angle ABC = \beta$ dersek, $\angle ACB = \dfrac {3\alpha - 2\beta}{2}$ ve $\angle DAC = \dfrac {2\beta - \alpha}{2}$ olacaktır.

$AB = CD > AD$ ise $\triangle ABD$ de açı-kenar eşitsizliğinden $\angle ADB = \alpha > \angle ABD = \beta$ ve $\triangle ACD$ de açı kenar eşitsizliğinden $\angle DAC =  \dfrac {2\beta - \alpha}{2}  > \angle ACD = \dfrac {3\alpha - 2\beta}{2} \Longleftrightarrow \beta > \alpha$ elde edilir. Çelişki.

$AB = CD < AD$ ise $\triangle ABD$ de açı-kenar eşitsizliğinden $\angle ADB = \alpha < \angle ABD = \beta$ ve $\triangle ACD$ de açı kenar eşitsizliğinden $\angle DAC =  \dfrac {2\beta - \alpha}{2}  < \angle ACD = \dfrac {3\alpha - 2\beta}{2} \Longleftrightarrow \beta < \alpha$ elde edilir. Çelişki.

Bu durumda $AB = CD = AD$ dir.

Not: Bu problem $(k_2=1, N=1.2)$ ya da diğer bir deyişle $(k_2=1,a=180^\circ - 3x/2, d = 180^\circ -x)$ soru ailesine aittir. bkz. Üçgende Kesenin Kenarlarla Yaptığı Açı Üzerine