$\frac{x}{y}+\frac{y}{z+1}+\frac{z}{x}=\frac{5}{2}$ diyafont denklemi

[matematikolimpiyati]

$x,y,z$ pozitif tam sayılar olmak üzere,
$$\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z+1}+\dfrac{z}{x}=\dfrac{5}{2}$$
denklemini sağlayan tüm $(x,y,z)$ üçlülerini bulunuz.

(Mathematical Reflections 2012)

[Metin Can Aydemir]

Aritmetik-Geometrik ortalama eşitsizliğinden, $$\frac{5}{2}=\frac{x}{y}+\frac{y}{z+1}+\frac{z}{x}\geq 3\sqrt[3]{\frac{z}{z+1}}$$ $$\implies \frac{125}{216}\geq \frac{z}{z+1}\implies 125z+125\geq 216z\implies 125\geq 91z$$ elde edilir. Yani $z=1$ olmalıdır. Yerine yazarsak, $$\frac{x}{y}+\frac{y}{2}+\frac{1}{x}=\frac{5}{2}\implies 2x^2+2y+xy^2=5xy$$ $(x,y)=d$ olsun. $x=ad$ ve $y=bd$ olacak şekilde aralarında asal $a$ ve $b$ pozitif tamsayıları vardır. Yerine yazarsak, $$2b=5abd-2a^2d-ab^2d^2$$ olacaktır. $a\mid 2b$ olmalıdır. $(a,b)=1$ olduğundan $a\mid 2$'dir. Yani $a=1$ veya $a=2$'dir.

$a=2$ ise $b=5bd-4d-b^2d^2$ olacağından $d\mid b$'dir. $b$'nin tek olması gerektiğini not alalım. Ayrıca $b\mid 4d$ olduğundan $b\mid d$ olacaktır. Dolayısıyla, $b=d$'dir. Yerine yazarsak, $b^3-5b+5=0$'dır ancak çözüm yoktur.

$a=1$ ise $2b=5bd-2d-b^2d^2$ olacaktır. $$5bd>b^2d^2\implies 5>bd$$ bulunur. $(b,d)=(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,2),(1,4),(4,1)$ olabilir. Yerine koyarsak $(b,d)=(1,1),(1,2),(2,1)$ çözümleri bulunur. Dolayısıyla tüm çözümler $(x,y,z)=(1,1,1),(1,2,1),(2,2,1)$'dir.

[matematikolimpiyati]

Çözüm 2 :

$z=1$ bulduktan sonra alternatif olarak tekrardan Aritmetik Ortalama - Geometrik Ortalama eşitsizliği uygulanabilir.

$\dfrac{5}{2}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{2}+\dfrac{2}{x} \geq 3 \sqrt[3]{\dfrac{x}{y} \cdot \dfrac{y}{2} \cdot \dfrac{2}{x}} =3 \implies \dfrac{1}{x} \geq \dfrac{1}{2} \implies x \leq 2$

   $i)$  $x=2 \implies \dfrac{y}{2}+\dfrac{2}{y}=2 \implies y=2$  buradan $(2,2,1)$ çözümü bulunur.

   $ii)$  $x=1 \implies \dfrac{y}{2}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{3}{2} \implies y=1$ ve $y=2$ buradan da $(1,1,1)$ ve $(1,2,1)$ çözümleri bulunur.

Böylece verilen denklemin pozitif tam sayılardaki tüm çözümleri $(2,2,1),(1,1,1)$ ve $(1,2,1)$ üçlüleridir.