Çembersellik, diklik merkezi konfigürasyonu ile

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

2023 yılının Balkan MO Shortlist'inden bir problemle uğraşıyordum. Diklik merkezi konfigürasyonu üzerine kuruluydu. Problemin ispatında yararlı bir özellik fark ettim. Burada da paylaşmış olayım.


Problem:
$ABC$  üçgeninde $H$  diklik merkezi ve $D$, $E$  ve $F$  noktaları ise sırasıyla $A$, $B$  ve $C$  köşelerinden inilen dikme ayaklarıdır. $P$ ve $Q$  noktaları, sırasıyla $(BDH)$  ve $(CDH)$  çevrel çemberleri ile $(ABC)$  çevrel çemberinin kesişim noktalarıdır. $PH$  doğrusu $AC$  yi $R$  de, $QH$  doğrusu ise $AB$  yi $S$  noktasında kestiğine göre $P$, $Q$, $R$  ve $S$  noktaları çemberseldir, gösteriniz.

[geo]

$\angle RCF = \angle ECH = \angle FBH =\angle FPH = \angle FPR$ olduğu için $P, C,R,F$ çemberseldir. Bu durumda $PH\cdot HR = CH \cdot HF$ olur.
Benzer şekilde $BH\cdot HE = QH\cdot HS$ olur.
$BCEF$ kirişler dörtgeninde $CH\cdot HF= BH\cdot HE$ olduğu için $PH\cdot HR= QH\cdot HS$ olur. Bu durumda $P,Q,R,S$ noktaları çemberseldir.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Asıl problemi paylaşalım:

Balkan MO Shortlist 2023 #G.4
Çeşitkenar bir $ABC$  üçgeninde $O$  çevrel merkez ve $H$  diklik merkezidir. $AH$  ile $BC$  doğrularının kesişimi $D$  noktasıdır. $X$  noktası, $OH$  doğrusu ile $BC$  nin kesişimidir. $P$  ve $Q$  noktaları ise sırasıyla $(BDH)$  ve $(CDH)$  çevrel çemberlerinin $(ABC)$  çevrel çemberi ile kesişimleri ise $P$, $D$, $X$  ve $Q$  noktaları çemberseldir, gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Ayrıca açılar kurcalandığında $\triangle PFH\sim \triangle QEH$  olduğunu da söyleyebiliriz.

Şayet probleme yönelik baktığımızda ilk sorudaki $S$  ve $R$  noktalarının sırasıyla $AB$  ve $BC$  kenarlarının orta noktaları olduğunu göstermek gerekiyor.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Ek olarak, ilk problemde

$i)$  $CFPR$  ve $BESQ$  dörtgenleri çemberseldir

$ii)$  $BEPR$  ve $CFQS$  dörtgenleri çemberseldir

$iii)$  $(BEPR)$  ve $(CFQS)$  çevrel çemberlerinin kuvvet ekseni üçgenin $AD$  yüksekliği üzerindedir, gösteriniz.


$-------------------------------------$
Toparlayacak olursak

Çeşitkenar $ABC$  üçgeninde $O$  ve $H$  sırasıyla çevrel merkez ve diklik merkezidir. $AD$, $BE$  ve $CF$  ise üçgenin yükseklikleridir. $BDH$  ve $CDH$  üçgenlerinin çevrel çemberleri $ABC$  üçgeninin çevrel çemberini ikinci kez sırasıyla $P$  ve $Q$
 noktalarında kesiyor. $PH$  ve $QH$  doğruları $AC$  ve $AB$ 'yi sırasıyla $R$  ve $S$  noktalarında kesiyor. $PBR$  üçgeninin çevrel çemberi $AB$  doğrusunu $J_1\neq B$  ve $CQS$  üçgeninin çevrel çemberi de $AC$  doğrusunu $J_2\neq C$  noktasında kesiyor. Ek olarak, $OH$  ile $BC$  doğrusu $X$  noktasında kesişiyor.

Aşağıdaki ifadeleri ispatlayınız:



1)  $R$  ve $S$  noktaları sırasıyla $AC$  ve $AB$  kenarlarının orta noktalarıdır.

2)  $P$, $Q$, $R$  ve $S$  noktaları çemberseldir.

3)  $C$, $F$, $P$  ve $R$  noktaları çemberseldir. Benzer şekilde $BESQ$  de çemberseldir.

4)  $B$, $E$, $P$  noktaları $R$  çemberseldir. Benzer şekilde $CFQS$  de çemberseldir.

5)  $J_1R\parallel CF$  ve  $J_2S\parallel BE$

6)  $J_1$, $J_2$, $R$  ve $S$  noktaları çemberseldir.

7)  $(J_1J_2RS)$  çevrel çemberi hem $(APR)$  çevrel çemberine hem de $(AQS)$  çevrel çemberine aynı anda teğettir.

  $AH$  doğrusu $(BEPR)$  ve $(CFQS)$  çevrel çemberlerinin kuvvet ekseni üzerindedir.

9)  $X$, $D$, $P$  ve $Q$  noktaları çemberseldir
(Balkan MO SL 2023 G.4)

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Geo hoca birkaç özelliği ispat etmişti. Bütünlük açısından bir daha gösterelim:


1)  $H$  dikliklik merkezinin $ABC$  üçgeninin kenarlarının orta noktalarına göre yansımalarının $(ABC)$  çevrel çember üzerinde olduğunu biliyoruz. Ayrıca, $AA'$  çevrel çap olduğunda $H$, $M_A$  ve $A'$  noktaları doğrusaldır (Basit açı taşımayla yapılabilir). Buna göre $\angle BPH=\angle HQZ=90^{\circ}$
 olduğundan $S$  ve $R$  noktaları sırasıyla $AB$  ve $AC$  kenarlarının orta noktalarıdır.

2)  $BDFHP$  ve $CDHEQ$  beşgenlerinin çembersel olduğunu biliyoruz. Buna göre $\angle HPD=\angle HBD=\angle CAD$ olduğundan $ADPR$  dörtgeni çemberseldir. Benzer şekilde $ADQS$  dörtgeni de çemberseldir. Bu iki çemberde $H$  noktasının kuvvetinden
$$PH\cdot HR=AH\cdot HD=QH\cdot HS$$
olduğundan $PQRS$  dörtgeni çembersel olur.

3)  İlk özellik 2)'de elde edilen $(ADPR)$  çemberselliği ile $H$  diklik merkezinin özelliklerinden $PH\cdot HR=AH\cdot HD=CH\cdot HF$  bulunur ve $CFPR$  dörtgeni çemberseldir. Benzer şekilde 2)'deki $(ADQS)$  çemberselliği sonucu $AH\cdot HD=SH\cdot HQ=BH\cdot HE$  bulunur, $BESQ$  dörtgeni çemberseldir.

4)  Yine 2)'de elde ettiğimiz $(ADPR)$  ve $(ADQS)$  çemberselliklerinden dolayı

$$AH\cdot HD=PH\cdot HR=BH\cdot HE\Longleftrightarrow \qquad BEPR \quad \text{çemberseldir}$$
$$AH\cdot HD=QH\cdot HS=CH\cdot HF\Longleftrightarrow \qquad CHQS \quad \text{çemberseldir}$$

5-6-8)  $AH$  doğrusunun $(BEPR)$  ve $(CFQS)$  çevrel çemberlerinin kuvvet ekseni üzerinde olması için gerek ve yeter şart $H$  ve $A$  noktalarının bu iki çembere eşit kuvvete sahip olmalıdır. İlkin $H$  diklik merkezi için gösterelim. Şayet $PH\cdot HR=QH\cdot HS$  olduğundan $H$  noktası kuvvet ekseni üzerindedir.

$A$  noktasına gelecek olursak, öncelikle $J_1J_2RS$  dörtgeninin çembersel olduğunu gösterelim. İlkin $\angle HPB=\pi-\angle HDB=90^{\circ}=\angle RPB=\angle RJ_1B$  olduğunu görelim. Benzer şekilde $\angle HQC=\pi-\angle HDC=90^{\circ}=\angle SQC=\angle SJ_2C$  olduğundan $J_1R\parallel CF$ ,  $ J_2S\parallel BE$  ve $\angle RJ_1S=\angle SJ_2R$  bulunur, $J_1J_2RS$  dörtgeni çemberseldir. $A$  noktasının kuvveti sağladığını başka bir zaman ekleyeceğim.