USAJMO 2024 #1

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$ABCD$  kirişler dörtgeninde $AB=7$  ve $CD=8$  dir. $P$  ve $Q$  noktaları $AB$  kenarı üzerinde $AP=BQ=3$  olacak şekilde alınıyor.  $R$  ve $S$  noktaları ise $CD$  kenarı üzerinde $CR=DS=3$  olacak şekilde alınıyor. Buna göre $P$, $Q$, $R$  ve $S$  noktalarının çemberselliğini gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$AB$  ve $CD$  doğrularının kesişimi $X$  noktası olsun. $ABCD$  kirişler dörtgeni olduğundan $|XB|\cdot \left(|XB|+7\right)=|XC|\cdot \left(|XC|+8\right)$  dır. Dolayısıyla $\left(|XB|+3\right)\left(|XB|+4\right)=\left(|XC|+2\right)\left(|XC|+6\right)$  bağıntısı sağlanır ve kuvvet sağlandığından $P$, $Q$, $R$  ve $S$  noktaları çemberseldir.