IMO Shortlist 2000 #G.3

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Dar açılı bir $ABC$  üçgeninde $O$  çevrel merkez ve $H$  ise diklik merkezidir. Buna göre
$$OD+DH=OE+EH=OF+FH$$
ve $AD$, $BE$  ve $CF$  doğrularının noktadaş olmasını sağlayan sırasıyla $BC$, $CA$  ve $AB$  kenarları üzerinde $D$, $E$  ve $F$  noktalarının bulunduğunu ispatlayınız.

[geo]

$OA=OB=OC=R$ ve $H$ nin $BC$ ye göre simetriği $H_A$ olsun. $H_A$, $ABC$ nin çevrel çemberi üzerindedir.
$OD+DH=OD+DH_A\geq OH_A=R$ olur. Eşitlik durumu $D\in
OH_A$ iken sağlanır.
Benzer şekilde $E\in OH_B$ ve $F\in OH_C$ olduğunda $OD+DH=OE+EH=OF+FH=R$ olacaktır.
Bu $D,E,F$ noktaları Ceva Teoremini sağlarsa ispat tamamlanmış olacak, yoksa başka noktalar aramak durumunda olacağız.
$\angle BOH_A=2\angle BAH_A=180^\circ - 2\angle B$ ve $\angle COH_A=180^\circ-2\angle C$ olduğu bilgisiyle
$\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{BD}{OB}\dfrac{OB}{DC}=\dfrac{\sin \angle BOD}{\sin \angle ODB}\dfrac{\sin \angle ODC}{\sin \angle DOC} =\dfrac{\sin \angle BOD}{\sin \angle DOC}=\dfrac{\sin  2\angle B }{\sin 2\angle C }$ elde ederiz.

Benzer şekilde $\dfrac{CE}{EA}=\dfrac{\sin 2\angle C}{\sin 2\angle A}$ ve $\dfrac{AF}{FC}=\dfrac{\sin 2\angle A}{\sin 2\angle B}$ olacağı için $\dfrac{BD}{DC}\dfrac{CE}{EA}\dfrac{AF}{FB}=1$ olacaktır.