Gönderen Konu: USAJMO 2012 #1  (Okunma sayısı 118 defa)

Çevrimdışı Hüseyin Yiğit EMEKÇİ

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 795
  • Karma: +2/-0
USAJMO 2012 #1
« : Eylül 27, 2024, 07:49:59 ös »
$ABC$  üçgeninin sırasıyla $AB$  ve $AC$  kenarları üzerinde alınan $P$  ve $Q$  noktaları için $AP=AQ$  eşitliği sağlanıyor. $S$  ve $R$  noktaları $BR>BS$ ,  $\angle BPS=\angle PRS$ ve $\angle CQR=\angle QSR$  koşulları sağlanıyor. Buna göre $P$, $Q$, $R$  ve $S$  noktaları çemberseldir, gösteriniz.
''Uzman, çok dar bir alanda yapılabilecek tüm hataları yapmış kişidir.''   ~Niels Bohr

Çevrimdışı Hüseyin Yiğit EMEKÇİ

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 795
  • Karma: +2/-0
Ynt: USAJMO 2012 #1
« Yanıtla #1 : Eylül 27, 2024, 08:15:37 ös »
Açı koşulları aslında $AB$  ve $AC$  doğrularının sırasıyla $(PSR)$  ve  $(QSR)$  çevrel çemberlerine teğet olduklarını söyleyebiliriz. Buna göre $AP$  ve $AR$  , bu iki çevrel çembere teğet olup $AP^2=AQ^2$  olduğundan $A$  noktası, $(PSR)$  ve $(QSR)$  çevrel çemberlerinin kuvvet ekseni üzerindedir.

Varsayalım ki $(PSR)\neq (QSR)$,  yani $PQRS$ çembersel olmasın. Buna göre bu iki çemberin ortak kirişi $BC$  kuvvet ekseni olmalıdır. Fakat $A$  noktası da kuvvet ekseni üzerindeydi, çelişki. Dolayısıyla $(PSR)=(QSR)$  olur; $P$,  $Q$,  $R$ ve $S$  noktaları çemberseldir.
''Uzman, çok dar bir alanda yapılabilecek tüm hataları yapmış kişidir.''   ~Niels Bohr

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal