Gönderen Konu: Nokta Çemberi- Rus Matematik Olimpiyatı 2010  (Okunma sayısı 182 defa)

Çevrimiçi Hüseyin Yiğit EMEKÇİ

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 795
  • Karma: +2/-0
Nokta Çemberi- Rus Matematik Olimpiyatı 2010
« : Eylül 20, 2024, 10:38:08 ös »
Çevresi $4$  olan $ABC$  üçgeninin sırasıyla $AB$  ve $AC$  ışınları üzerinde alınan $X$ ve $Y$ noktaları için $AX=AY=1$  dir. $XY$  doğrusu $BC$  kenarını $M$  noktasında kestiğine göre ya $ABM$  ya da $ACM$  üçgeninin çevresinin $2$  olduğunu gösteriniz.
« Son Düzenleme: Eylül 21, 2024, 05:59:38 ös Gönderen: geo »
''Uzman, çok dar bir alanda yapılabilecek tüm hataları yapmış kişidir.''   ~Niels Bohr

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2.633
  • Karma: +9/-0
Ynt: Nokta Çemberi- Rus Matematik Olimpiyatı 2010
« Yanıtla #1 : Eylül 21, 2024, 06:23:15 ös »
$AB<AC$ olsun.
$ABC$ de $A$ ya ait $I$ merkezli dış teğet çember, $BC$, $AC$, $AB$ doğrularına sırasıyla $T$, $W$ ve $U$ noktalarında dokunsun.
$AI$, $XY$ ve $UW$ doğrularını $K$ ve $L$ de kessin.
$AM$ ile $UW$, $N$ de kesişsin.
$ABC$ çevresine $2u$ dersek, $AX=XU=AY=YW=\dfrac u2$ olacaktır.
$XY\parallel UW$ olduğu için $AK=KL$, $AM=MN=ML$.

$M$ noktasının dış teğet çembere göre kuvvetinden
$\begin{array}{rcl}
MT^2 &=& MI^2-IU^2\\
&=& MI^2-IL\cdot IA\\
&=& MI^2-(IK-KL)(IK+AK)\\
&=& MI^2-(IK-KL)(IK+KL)\\
&=& MI^2-(IK^2-KL^2)\\
&=& MI^2-(MI^2-ML^2)\\
&=& ML^2\\
&=&AM^2\end{array}$

$AB+AM+BM=AB+MT+BM= AB+BT=AB+BU=AU=u$

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2.633
  • Karma: +9/-0
Ynt: Nokta Çemberi- Rus Matematik Olimpiyatı 2010
« Yanıtla #2 : Eylül 22, 2024, 06:24:50 ös »
İlk çözüme benzer bir çözümü kuvvet ekseni ile de verebiliyoruz.

$I$ merkezli $|IU|$ yarıçaplı çember ile $A$ merkezli $0$ yarıçaplı çemberin kuvvet eksenini ele alalım.

$X$ noktasının bu iki çembere göre kuvveti $XU^2=AX^2-0=AX^2$ olduğu için, $XY$ doğrusu bu iki çemberin kuvvet eksenidir.
O halde $XY$ üzerindeki $M$ noktası için de kuvvetler eşit olacaktır. $AM^2=MT^2$.
$AM+MB+BA=TM+MB+BA=TB+BA=UB+BA=UA$.


 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal