Asal, tam kare ve Wilson

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$p!+p$  ifadesini tam kare yapan tüm $p$ asal sayılarını bulunuz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Wilson Teoremi'nden $(p-1)!=-1 \pmod{p}$ olduğundan herhangi bir $k$  pozitif tam sayısı için

$$p!+p=p((p-1)!+1)\equiv 0 \pmod{p^2}$$
olduğunu söyleyebiliriz. Dolayısıyla
$$\dfrac{(p-1)!+1}{p}$$
ifadesini tam kare yapan $p$ asallarını bulmalıyız. Peki devamında nasıl ilerlemeliyiz? Yardımcı olursanız sevinirim.

[Metin Can Aydemir]

$p=2,3$ için ifade tamkaredir. $p\geq 5$ için $x^2=p!+p$ olsun. $p$'nin $4k+1$ formatında olduğunu görmek kolaydır. $q$ asalı $p$'den küçük tek bir asal sayı olsun. $$x^2\equiv p!+p\equiv p\pmod{q}\implies \left(\frac{p}{q}\right)=1$$ elde edilir. $p\equiv 1\pmod{4}$ olduğundan karekalan kanunundan, $$\left(\frac{p}{q}\right)=\left(\frac{q}{p}\right)=1$$ bulunur. Yani $p$'den küçük her tek asal sayı $p$ modunda karekalandır. Hatta $p!\equiv 0\pmod{8}$ olduğundan $p\equiv x^2\equiv 1\pmod{8}$ olur, yani $2$ de karekalandır. $p$'den küçük her pozitif tamsayı, $p$'den küçük asal sayıların çarpımı olduğundan ve tüm bu asallar karekalan olduğundan $p$'den küçük tüm sayılar karekalan olmalıdır. Ancak bu mümkün değildir. Tam olarak yarısı karekalan olmalıdır.