Gönderen Konu: Bir Diyofant Denklemi  (Okunma sayısı 263 defa)

Çevrimiçi alpercay

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 970
  • Karma: +14/-0
Bir Diyofant Denklemi
« : Eylül 14, 2024, 10:41:28 öö »
$2^x-2^9=3^y-3$ eşitliğinin pozitif tamsayılarda $(9,1)$ den başka bir çözümü olup/olmadığı nasıl gösterilir?
$ 2^9\cdot(2^{x-9}-1)=3\cdot(3^{y-1}-1)$ şeklinde yazınca $(x,y)=(9,1)$ olması gerektiği görülüyor. Başka çözüm olup/olmadığını göremedim.
« Son Düzenleme: Eylül 14, 2024, 10:43:14 öö Gönderen: alpercay »

Çevrimdışı Metin Can Aydemir

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1.322
  • Karma: +9/-0
Ynt: Bir Diyofant Denklemi
« Yanıtla #1 : Eylül 14, 2024, 05:37:26 ös »
$y=1$ ise $x=9$ bulunur. $y\geq 2$ ise $x\geq 10$'dur. $3^y=2^x-509$ sayısının $9$'a bölünmesi üzerinden ilerleyelim. $$2^x\equiv 509\equiv 5\pmod{9}\implies x\equiv 5\pmod{6}$$ elde edilir. Mod $7$'de incelersek, $x\equiv 5\pmod{6}$ olduğundan $2^x\equiv 4\pmod{7}$'dir ve $$3^y\equiv 2^x-509\equiv 6\pmod{7}$$ elde edilir. $3^y\equiv 6\pmod{7}$ olmasının tek yolu $y\equiv 3\pmod{6}$ olmasıdır. $y=3k$ yazarsak, $3^y=27^k\equiv 1\pmod{13}$ olacağından, $$2^x\equiv 3^y+509\equiv 3\pmod{13}\implies x\equiv 4\pmod{12}$$ bulunur. Ancak yukarıdan da bulduğumuz gibi $x$ tek sayıdır. Bu da bir çelişkidir. $y\geq 2$ için çözüm yoktur.
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

Çevrimiçi alpercay

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 970
  • Karma: +14/-0
Ynt: Bir Diyofant Denklemi
« Yanıtla #2 : Eylül 24, 2024, 09:59:54 öö »
$x>9$ ve $y>1$ için başka bir çözüm  $a,b\in\mathbb{Z^+}$ olamak üzere  $(9+a,1+b)$ olsun. $$2^{a+9}=3^{b+1}+509$$  ve  $2^9=3+509$ olduğundan $$2^a(3+509)=509+3^{b+1}$$  $$(2^a-1)509=3(3^b-2^a)$$  $3$ ve $509$ sayıları asal olduğundan $2^a-1=3$ ve $3^b-2^a=509$ olmalıdır. Fakat bu durumda $3^b=513$ yani $b$ pozitif tam sayı olmaz. Demek ki tek çözüm $(9,1)$ dir.

Çevrimdışı Metin Can Aydemir

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1.322
  • Karma: +9/-0
Ynt: Bir Diyofant Denklemi
« Yanıtla #3 : Eylül 24, 2024, 11:06:56 ös »
$x>9$ ve $y>1$ için başka bir çözüm  $a,b\in\mathbb{Z^+}$ olamak üzere  $(9+a,1+b)$ olsun. $$2^{a+9}=3^{b+1}+509$$  ve  $2^9=3+509$ olduğundan $$2^a(3+509)=509+3^{b+1}$$  $$(2^a-1)509=3(3^b-2^a)$$  $3$ ve $509$ sayıları asal olduğundan $2^a-1=3$ ve $3^b-2^a=509$ olmalıdır. Fakat bu durumda $3^b=513$ yani $b$ pozitif tam sayı olmaz. Demek ki tek çözüm $(9,1)$ dir.

Neden $k>1$ için $2^a-1=3k$ ve $3^b-2^a=509k$ olamıyor?
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

Çevrimiçi alpercay

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 970
  • Karma: +14/-0
Ynt: Bir Diyofant Denklemi
« Yanıtla #4 : Eylül 25, 2024, 07:57:52 öö »
Haklısın, ben sadece k=1 için düşünmüşüm.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal