JBMO Shortlist 2023 #G.1

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$ABC$  üçgeninde çevrel çember $\Omega$  ve merkezi $O$  olsun.  $\Gamma$  çemberi ise $O$  ve $B$  noktalarından geçip $AB$  doğru parçasına $B$  noktasında teğettir. $\Gamma$ ile $\Omega$  ikinci defa $P \neq B$  noktasında kesişiyor. $P$  ve $C$  noktalarından geçip $AC$ doğru parçasına $C$  noktasında teğet olan çember ise $\Gamma$  ile $M$  de kesişsin. Buna göre $|MP|=|MC|$  olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Öncelikle bir doğrusallığı gösterelim.
$$\angle PMC=180^{\circ}-\angle PCA=\angle ABP=\angle ABO+\angle OBP=180^{\circ}-\angle BOP=180^{\circ}-\angle BMP$$
olduğundan dolayı $B$, $M$ ve $C$ noktaları doğrusaldır. Öte taraftan
$$\angle OCM=\angle OBM=\angle OPM$$
olduğundan $MP=MC$ elde edilir.