Hindistan Matematik Olimpiyatı 2014 #1 {çözüldü}

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$ABC$  üçgeninin $BC$  kenarı üzerinde $AB+BD=AC+CD$ koşulunu sağlayan bir $D$ noktası alınsın. Buna göre üçgenin $B$  ve $C$ köşeleri ile $ABD$ ve $ADC$ üçgenlerinin ağırlık merkezleri çemberseldir. $ABC$ üçgeninin ikizkenar olduğunu ispatlayınız.

[alpercay]

$ABD$  ve $ACD$ üçgenlerinin ağırlık merkezleri sırasıyla $G_1$ ve $G_2$ olsun. Ağırlık merkezinin özelliğinden $G_1G_2//BC$ olduğu açık. Açı hesabı ve kirişler dörtgeni kullanarak kolayca $BG_1G_2C$ dörtgeninin ikizkenar yamuk olduğu ; yani $BG_1=CG_2$ görülür.  Buna göre $ABD$ üçgeni ve $ACD$ üçgeninin $AD$ kenarına ait kenarortayları eşit olur. Dolayısıyla bu üçgenlerde kenarortay teoremi yazılırsa $AB^2+BD^2=AC^2+CD^2$ sonucuna ulaşılır. Aynı zamanda $AB+BD=AC+CD$ olduğundan kare alınırsa $AB.BD=AC.CD$ olduğu da görülür. Eğer $AB=CD$ olursa  $BD=AC$ yani $AB+BD=AB+AC=BC$ çelişkisi oluşur. Bunun sonucu olarak $AB=AC$ olmalıdır.

[alpercay]

Başka bir yol olarak $ABD$  ve $ACD$ üçgenlerine kosinüs teoremi uygulayınca $AB.BD.\cos B=AC.CD.\cos C$ oldu. Devamında Stewart kullanayım dedim  fakat ikisini birleştiremedim.

[geo]

alpercay hocamın çözümünü tekrarlayacağım.

$I$, $ABC$ nin iç merkezi olsun.

$AB+BD=AC+CD$ eşitliğinden $D$ dış teğet çemberin değme noktasıdır.
$D'$, iç teğet çemberin $BC$ ye değdiği nokta olsun.

Kenarortayların eşitliğinden $AB^2+BD^2=AC^2+CD^2$  elde edilir. $BD=CD'$ eşitliğinden $AB^2+CD'^2=AC^2+BD'^2$.
Bu da $AD'\perp BC$ anlamına gelir. $ID'\perp BC$ olduğu için $AB=AC$ dir.