Silk Road Matematik Olimpiyatı 2022 #1

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$ABCD$  kirişler dörtgeninin çevrel çemberi $w$  olsun. $L$  noktası $BD$  köşegeni üzerinde $\angle DAL=\angle BAC$  olacak şekilde alınıyor. Ayrıca $AB$  ile $DC$  doğrularının kesişimi $K$  noktasıdır. $KL$  doğru parçası üzerindeki $M$  noktası için $CM\parallel BD$ koşulunu sağlandığına göre $BM$  doğru parçasının $w$ çemberine teğet olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Problem koşulu $\angle DAL=\angle BAC=\angle BDC$  olmasına dönüşür. Kullanmayacağız ama $DE$  doğru parçasının $(ADL)$  çemberine teğet olduğu da söylenebilir. $MC\parallel BD$ olduğu için
$$\angle BCM=\angle BCK-\angle MCK=\angle BAD-\angle BDK=\angle LAB$$
olur. Öte taraftan, $AK$  doğru parçası üzerinde $MF\parallel AL$ olacak şekilde bir $F$  noktası alalım. Paralellikten $\angle MFK=\angle LAB=\angle BCM$ olduğundan $BCMF$ dörtgeni bir kirişler dörtgenidir. Dolayısıyla $\angle CFM=\angle BDC$ olduğunu göstermek ispatı tamamlar. $MF\parallel AL$ ve $MC\parallel DL$ olduğundan  $FC\parallel AD$ olur. Yani
$$\angle CFM=\angle CFK-\angle MFK=\angle BAD-\angle LAB=\angle DAL=\angle BDC$$
olduğundan $BD$ doğru parçası $w$ çemberine teğet olur.