İran Lemma-iç teğet çember, paralellik ve diklik

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$ABC$ üçgeninin iç teğet çemberi sırasıyla $BC$, $CA$ ve $AB$ kenarlarına $D$, $E$ ve $F$ noktalarında teğet olsun. $[BI$ ışını $EF$ doğrusunu $K$'da kessin.

$i)$ $BK\perp CK$ olduğunu gösteriniz.

$ii)$ $M$ ve $N$ noktaları sırasıyla $BC$ ve $AC$ kenarlarının orta noktaları ise $K$ noktası $MN$ doğrusu üzerindedir, gösteriniz.

[geo]

$(i)$ $\angle CIK = \angle IBC + \angle ICB = \dfrac {\angle ABC + \angle ACB}{2} =\dfrac {180^\circ - \angle BAC}{2} = \angle AEF$.
Bu durumda $IKEC$ kirişler dörtgenidir.
$\angle IKC = \angle IEC = 90^\circ$ dir.

$(ii)$ $\triangle BKC$ dik üçgeninde $BM=KM=CM$. $\angle KMC = 2\angle KBM = \angle ABC$ olduğu için $KM \parallel AB$ dir. Bu durumda $M$, $K$, $N$ doğrusaldır.

[ygzgndgn]

(Bu konfigürasyonun sonuçları aynı zamanda bu soru bir İran TST'de sorulduğundan İran Lemma olarak da bilinmektedir. Sınavlarda bu isimle kullanılabilir.)