USAJMO 2011 #5

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$A$, $B$, $C$, $D$  ve $E$  noktaları bir $w$  çemberi üzerinde alınsın. Çemberin dışındaki bir $P$  noktası için $PA$  ve $PD$  doğru parçaları $w$ 'ye teğet olsun. $P$, $A$  ve $C$  noktaları da doğrusal ve $DE\parallel AC$  olsun. Buna göre $BE$  doğru parçasının $AC$ 'yi ortaladığını gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

İki nokta tanımlayalım: $AC$  ile sırasıyla $BD$  ve $BE$ 'nin kesişimi $T$  ve $Q$  noktaları olsun.

$ADEC$  bir ikizkenar yamuk olduğundan $AQ=QC\Longleftrightarrow QD=QE$  olduğunu göstermek yeterli olacaktır. Teğetlik ve paralellik göz önünde bulundurulduğunda
$$\angle BED=\angle BQA=\angle PDB$$
olduğundan $PDQB$  kirişler dörtgenidir. Dolayısıyla
$$\angle BED=\angle PBD=\angle PQD=\angle QDE\Longleftrightarrow DQ=DE$$
elde edilir ve ispat biter.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Bu problem aynı zamanda Alfred Posamentier'in Challenging Problems in Geometry kitabındaki #4.40 sorusuyla aynıdır.