Üçgen içerisinde P noktası, Model 1.6

[geo]

$ABC$ üçgeni içerisinde alınan $P$ noktası için $\angle ABP = t$, $PBC = 30^\circ - t$, $\angle BCP = 90^\circ - 3t$ ve $PCA= 30^\circ + t$ ise $\angle CAP=30^\circ$ olduğunu gösteriniz.

[geo]

Buradaki modellemeye göre bu soru Model 1.6 ailesine ait.

$ABC$ nin çevrel çemberinin merkezi $O$ olsun.
$\angle AOC = 2\angle ABC = 60^\circ$. $OA=OC=AC=OB$.
$\angle OCP = 30^\circ - t$, $\angle OCB = \angle OBC = 60^\circ - 2t$, $\angle OBP = 30^\circ - t = \angle OCP$ olduğu için $OBCP$ kirişler dörtgenidir. Bu durumda $\angle POC = \angle PBC = 30^\circ - t = \angle PCO$, dolayısıyla $OP=PC$ dir. $AO=AC$ olduğu için $\triangle AOC$ de $AP$ açıortaydır. O halde $\angle CAP = 30^\circ$ dir.