Ardışık Terimli Pisagor Üçlüsü

[Metin Can Aydemir]

$a,b,c$ pozitif tamsayılar olmak üzere $a^2+b^2=c^2$ eşitliğini sağlıyorsa $(a,b,c)$ üçlüsüne "Pisagor üçlüsü" denir. Eğer $|a-b|=1$ ise bu Pisagor üçlüsüne ardışık terimli Pisagor üçlüsü diyelim. $(3,4,5)$ bir ardışık terimli Pisagor üçlüsüdür. Bu üçlüden sonraki en küçük ardışık terimli Pisagor üçlüsü nedir? Deneme-yanılma yapmadan bulunuz. (Pisagor üçlülerini hipotenüsün uzunluğuna göre sıralayabilirsiniz, örneğin $(7,24,25)$, $(10,24,26)$'dan daha küçüktür gibi düşünebilirsiniz.)

[alpercay]

Soruyu görünce doğal olarak temel Pisagor üçlülerini kullanmak aklıma geldi. Netten biraz yardım alınca Pell denklemi elde ettiğimi farkettim.

 Şöyle bir çözümü var: Çözüm için primitif Pisagor üçlülerini işe koşacağız. $m\gt n$  pozitif tamsayıları için temel Pisagor üçlülerinin $a=m^2-n^2$, $b=2mn$, $c=m^2+n^ 2$  olduğunu biliyoruz. Bunları $|a-b|=1$ de yerine yazıp düzenlersek $$|(m-n)^2-2n^2|=1$$ olur. $m=x+y$, $n=y$ yazarsak $$x^2-2y^2=\pm 1$$ Pell denklemi bulunur. $x=3,y=2$ temel çözümünden tüm çözümler $n$ pozitif tamsayısı için  $$x_n=\dfrac{(3+2\sqrt{2})^n+(3-2\sqrt{2})^n}{2}$$   $$y_n=\dfrac{(3+2\sqrt{2})^n-(3-2\sqrt{2})^n}{2\sqrt{2}}$$ şeklindedir. $n=1$ için $x=3, y=2$ dolayısıyla $m=5, n=2$  ve $a=21, b=20$ olacağından $(3,4,5)$ üçlüsünden sonraki en küçük ardışık terimli Pisagor üçlüsü $(21,20,29)$ olmalıdır.

[Lokman Gökçe]

Elinize sağlık Alper hocam. Çok güzel çözüm.

$x^2 - 2y^2 = -1$ negatif Pell denkleminin $x=y=1$ şeklinde temel çözümü de var. Acaba buradan gelen çözümler nelerdir? Buna da bakılırsa daha iyi olabilir. Negatif Pell denklemi, $(20,21,29)$ üçgeninden daha küçük bir Pisagor üçlüsü üretebilir mi?

[Metin Can Aydemir]

Elinize sağlık Alper hocam. Çok güzel çözüm.

$x^2 - 2y^2 = -1$ negatif Pell denkleminin $x=y=1$ şeklinde temel çözümü de var. Acaba buradan gelen çözümler nelerdir? Buna da bakılırsa daha iyi olabilir. Negatif Pell denklemi, $(20,21,29)$ üçgeninden daha küçük bir Pisagor üçlüsü üretebilir mi?

Aslında bu soruyu oluştururken ilk başta bu negatif pell denklemi üzerine bir kurgu düşünmüştüm. İnternette normal Pell denklemlerinin çözümleriyle birlikte, negatif için de çözümleri bulmak mümkün. Örneğin buradaki denklemde $(x_n,y_n)$ çözümleri $x_n+y_n\sqrt{2}=(1+\sqrt{2})^{2n+1}$'den geliyor.

Benim ilgincime gidip bu soruyu oluşturma nedenime gelecek olursak, bu denklemde $x$'in tek sayı olması gerektiği barizdir. Biraz düzenlersek, $$\left(\frac{x+1}{2}\right)^2+\left(\frac{x-1}{2}\right)^2=y^2$$ elde edilir. $\frac{x+1}{2}$ ve $\frac{x-1}{2}$ sayıları tamsayı olduğundan buradan da bir Pisagor denklemi elde ediyoruz. Hatta bu üçlü, soruda belirtilen ardışık terimli Pisagor üçlüsüdür. Dolayısıyla, $(u,u+1,v)$ ardışık terimli Pisagor üçlülerinden sonra gelecek olan ardışık terimli üçlü; ya negatif pell denkleminden gelen $(x,y)=(2u+1,v)$ ile elde edilen $$\left(4u^2+4uv+2v+4u+1,4u^2+4uv+2v+4u,4u^2+4uv+2v+4u+2v^2\right)$$ ya da normal pell denklemi olan $x^2-2y^2=1$'den gelen çözüm olacaktır. Negatiften gelen $(3,4,5)$'den sonraki çözümün $(20,21,29)$'dan çok daha büyük olduğu barizdir.