Üçgende Açı Model 4.9'un Çözümü

[Lokman Gökçe]

$ABC$ üçgeninin iç bölgesinden bir $P$ noktası alınıyor. $0^\circ < t < 30^\circ$ olmak üzere, $\angle CBP = 90^\circ - t$, $\angle ABP = 30^\circ$, $\angle BCP = \angle ACP = 30^\circ - t$ dir. Buna göre $\angle BAP=x$ ve $\angle CAP=y$ nin $t$ türünden eşitini bulunuz.

Not: Sitemizde model üçgen - P noktası başlığında verilen 4.9 numarası ile sunulan problem türüdür. Bu başlıkta problemin özel bir hali $(t=20^\circ)$ bulunup, geomania'da henüz genel bir çözüm verilmediği belirtilmişti. Bu sayfada çözümünü sunabiliriz.

[Lokman Gökçe]

Çözüm [Lokman Gökçe]:

Trigonometik çözüm yapacağız. Öncelikle, çözümde kullanacağımız birkaç bilgiyi paylaşalım.

Bir Trigonometrik Hile
$x,y,a,b>0^{\circ}$ için $x+y=a+b<180^{\circ}$ olmak üzere
$$\dfrac{\sin x}{\sin y}=\dfrac{\sin a}{\sin b}$$
ise $x=a$ ve $y=b$ dir.



Şimdi çözüme başlayabiliriz. $x + y = 3t$ olduğunu not edelim. Trigonometrik Ceva teoremini uygularsak

$$  \dfrac{\sin x}{\sin y} \cdot  \dfrac{\sin (30^\circ - t)}{\sin (30^\circ - t)} \cdot  \dfrac{\sin (90^\circ - t)}{\sin 30^\circ} = 1 $$

olur. Buradan,

$$
\begin{aligned}
\dfrac{\sin x}{\sin y} &= \dfrac{\sin 30^\circ }{\sin (90^\circ - t)} \\
&= \dfrac{\sin t}{2\cdot \sin t \cdot \cos t} \\
&= \dfrac{\sin t}{\sin 2t} \\
\end{aligned}
$$

elde edilir. $t + 2t = 3t = x + y$ olduğundan trigonometrik hileyi uygulayabiliriz. $x = t$, $y = 2t$ bulunur.