Üçgende Açı Model 3.4'ün Çözümü

[Lokman Gökçe]

$ABC$ üçgeninin iç bölgesinden bir $P$ noktası alınıyor. $0^\circ < t < 15^\circ$ olmak üzere, $\angle BAP = t$, $\angle CAP = 3t$, $\angle ABP = 30^\circ - 2t$, $\angle CBP = 60^\circ + t$ dir. Buna göre $\angle ACP=x$ ve $\angle BCP=y$ nin $t$ türünden eşitini bulunuz.

Not: Sitemizde model üçgen - P noktası başlığında verilen 3.4 numarası ile sunulan problem türüdür. Bu başlıkta problemin özel bir hali $(t=10^\circ)$ bulunup, geomania'da henüz genel bir çözüm verilmediği belirtilmişti. Bu sayfada çözümünü sunabiliriz.

[Lokman Gökçe]

Çözüm [Lokman Gökçe]:

Trigonometik çözüm yapacağız. Öncelikle, çözümde kullanacağımız birkaç bilgiyi paylaşalım.

Bir Trigonometrik Hile
$x,y,a,b>0^{\circ}$ için $x+y=a+b<180^{\circ}$ olmak üzere
$$\dfrac{\sin x}{\sin y}=\dfrac{\sin a}{\sin b}$$
ise $x=a$ ve $y=b$ dir.


Bir Trigonometrik Özdeşlik
$$\sin(3\theta)=4\cdot \sin\theta\cdot \sin(60^{\circ}+\theta)\cdot \sin(60^{\circ}-\theta)$$


Şimdi çözüme başlayabiliriz. $x + y = 90^\circ - 3t$ olduğunu not edelim. Trigonometrik Ceva teoremini uygularsak

$$  \dfrac{\sin x}{\sin y} \cdot  \dfrac{\sin (60^\circ + t)}{\sin (30^\circ - 2t)} \cdot  \dfrac{\sin t}{\sin 3t} = 1 $$

olur. Burada $\sin 3t$ özdeşliğini de kullanarak,

$$
\begin{aligned}
\dfrac{\sin x}{\sin y} &= \dfrac{\sin (30^\circ - 2t) \cdot \sin 3t }{\sin (60^\circ + t) \cdot \sin t} \\
&= \dfrac{4\cdot \sin t \cdot \sin (60^\circ + t) \cdot \sin (60^\circ - t)\cdot \sin (30^\circ - 2t)}{\sin (60^\circ + t) \cdot \sin t} \\
&= \dfrac{4\cdot \cos (60^\circ - t) \cdot \sin (60^\circ - t)\cdot \sin (30^\circ - 2t)}{\cos (60^\circ - t)} \\
&= \dfrac{2\cdot \sin (120^\circ - 2t)\cdot \sin (30^\circ - 2t)}{\sin (30^\circ + t)} \\
&= \dfrac{2\cdot \sin (120^\circ - 2t)\cdot \sin (30^\circ - 2t)}{\sin (30^\circ + t)} \\
&= \dfrac{2\cdot \cos (30^\circ + 2t)\cdot \sin (30^\circ - 2t)}{\sin (30^\circ + t)} \\
&= \dfrac{\sin (60^\circ - 4t)}{\sin (30^\circ + t)} \\
\end{aligned}
$$

elde edilir. $(60^\circ - 4t) +  (30^\circ + t) = 90^\circ - 3t = x + y$ olduğundan trigonometrik hileyi uygulayabiliriz. $x = 60^\circ - 4t$, $y = 30^\circ + t$ elde edilir.

[geo]

$A$ nın $BC$ ye göre simetriği $A'$ olsun.
$[AA']$ üzerinde $\angle A'BQ = 30^\circ$ olacak şekilde $Q$ noktası alalım.
$A'BC$ üçgeninde $Q$ noktası; Model 1.9 a denktir. Buradan $\angle QCB = 30^\circ - t$ ve $\angle QCA' = 60^\circ - 2t$ çıkar.
$\angle BPQ = \angle QCB = 30^\circ - t$ olduğu için $BPCQ$ bir kirişler dörtgenidir. Buradan $\angle BCP = 30^\circ + t$ çıkar.