$AP$, $BP$ ve $CP$ kesenleri (Cevianları) için Trigonometrik Ceva kullanacağız
Bir Trigonometrik Hile
$x,y,a,b<0^{\circ}$ için $x+y=a+b<180^{\circ}$ olmak üzere
$$\dfrac{\sin x}{\sin y}=\dfrac{\sin a}{\sin b}$$
ise $x=a$ ve $y=b$ dir.
Hilenin ispatı kolay olduğundan okuyucuya bırakalım.
Trigonometrik Özdeşlik
$$\sin(3\theta)=4\cdot \sin\theta\cdot \sin(60^{\circ}+\theta)\cdot \sin(60^{\circ}-\theta)$$
özdeşliği doğrudur ve $\sin(3\theta)=3\sin\theta-4\sin^3\theta$ ile gösterilebilir. Ayrıca özdeşlik sinüs fonksiyonunun yanı sıra kosinüs fonksiyonu için de geçerlidir. Özdeşlikte $\theta=18^{\circ}$ için
$$\dfrac{\sin 54^{\circ}}{2\cdot \sin 18^{\circ}\cdot \sin 42^{\circ}}=2\cdot \sin 78^{\circ}$$
elde edilir. Bunu birazdan kullanacağız. $\angle BAP=x$ için Trigonometrik Ceva'ya göre
$$\dfrac{\sin 30^{\circ}\cdot \sin 54^{\circ}}{\sin 42^{\circ}\cdot \sin 18^{\circ}}=\dfrac{\sin(36^{\circ}-x)}{\sin x}$$
olacaktır. Sol tarafta özdeşlikten elde ettiğimiz ifadeyi kullanırsak
$$\dfrac{\sin 30^{\circ}\cdot \sin 54^{\circ}}{\sin 42^{\circ}\cdot \sin 18^{\circ}}=2\cdot \sin78^{\circ}=\dfrac{2\cdot \sin 12^{\circ}\cdot \cos12^{\circ}}{\sin 12^{\circ}}=\dfrac{\sin 24^{\circ}}{\sin 12^{\circ}}=\dfrac{\sin(36^{\circ}-x)}{\sin x}$$
olur ve Trigonometrik Hile'den $\angle BAP=x=12^{\circ}$ bulunur.
