İç ve Dış Açıortaylar

[geo]

$ABC$ üçgeninde $[AK_1]$, $[BL_1]$, $[CM_1]$ iç açıortaylar; $[AK_2]$, $[BL_2]$, $[CM_2]$ dış açıortaylardır.

$\dfrac {|BL_1|}{|BL_2|} = \dfrac {|CM_1|}{|CM_2|} = k$ ise $\dfrac {|AK_1|}{|AK_2|}$ oranını hesaplayınız.

[geo]

$\angle AK_1C = 90^\circ - (\angle C - \angle B)/2$, $\angle BL_1C=90^\circ - (\angle C - \angle A)/2$ ve $\angle BM_1C =90^\circ - (\angle B - \angle A)/2$.

İç açıortay ile dış açıortay arası $90^\circ$ olduğu için soru \[
\left |\cot \left ( 90^\circ - (\angle C - \angle A)/2\right ) \right | = \left |\cot \left ( 90^\circ - (\angle B - \angle A)/2\right ) \right|=k \Longrightarrow \left |\cot  \left ( 90^\circ - (\angle C - \angle B)/2 \right ) \right|=?
\]
Eşdeğer olarak \[
\left |\tan \left ((\angle C - \angle A)/2\right ) \right | = \left |\tan \left ( (\angle B - \angle A)/2\right ) \right|=k \Longrightarrow \left |\tan \left ( (\angle C - \angle B)/2 \right ) \right|=?
\]
$(\angle C - \angle A)/2 = (\angle B - \angle A)/2$ ya da $(\angle C - \angle A)/2+(\angle B - \angle A)/2 = 0$ olmalı.

İlk durumdan $\angle B = \angle C$, dolayısıyla  $\left |\tan \left ( (\angle C - \angle B)/2 \right ) \right|=\tan 0 = 0$.

İkinci durumdan $2\angle A = \angle B + \angle C = 180^\circ - \angle A \Longrightarrow \angle A =60^\circ$ elde edilir.

$\left |\tan \left ((\angle C - 60^\circ)/2\right ) \right |=\left |\tan \left (\angle C/2-30^\circ \right ) \right |=k$

$\left |\tan \left ( (\angle C - \angle B)/2 \right ) \right|= \left |\tan \left ( (\angle C - (120^\circ - \angle C))/2 \right ) \right| = \left |\tan \left ( \angle C - 60^\circ \right ) \right|$

$\left |\tan \left ( \angle C - 60^\circ \right ) \right|=\left | \tan \left ( 2\left ( \angle C/2 -30^\circ\right )\right ) \right |=\dfrac{2k}{1-k^2}$.