AIME 2018 #1.13

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$AB=30$, $BC=32$ ve $CA=34$ olan bir $ABC$ üçgeninde $X$ noktası, $[BC]$ doğru parçası üzerinde herhangi bir nokta olsun. $I_1$ ve $I_2$ ise sırasıyla $\triangle ABX$ ve $\triangle ACX$ 'in iç merkezleri olmak üzere $X$ noktası $[BC]$ üzerinde hareket ettikçe $\triangle AI_1I_2$ 'nin alanının alabileceği minimum değeri belirleyiniz.

[geo]

Cevap: $126$.

$BI_1$ ile $CI_2$ doğruları $ABC$ nin iç merkezi $I$ da kesişir.
$\angle AXI_1 = \dfrac{\angle XAC + XCA}{2} = \angle AI_2I$ ve $\angle AI_1X = 90^\circ + \dfrac {\angle ABC}2 = \angle AIC$ olduğu için $(AA)$ dan $\triangle AII_2 \sim \triangle AI_1X$. Dolayısıyla $\dfrac{AI}{AI_1}=\dfrac{AI_2}{AX}$, yani $AI_1\cdot AI_2 = AI\cdot AX$ elde edilir.

$ABC$ üçgeni için standart gösterimleri kullanalım. ($a, b, c, r, h_a, 2u=a+b+c$)

$[AI_1I_2]= \dfrac{AI_1\cdot AI_2 \cdot \sin( \angle BAC / 2)}{2} =\dfrac{AX\cdot AI \cdot \sin( \angle BAC / 2)}{2}= \dfrac{AX \cdot r}{2} \geq \dfrac{h_a\cdot r}{2}$

$[ABC]=\dfrac{ah_a}2 = ur = \sqrt{u(u-a)(u-b)(u-c)}$

$[ABC]^2=\dfrac{h_ar}{2}\cdot ua = u(u-a)(u-b)(u-c) \Longrightarrow \dfrac{h_ar}{2} = \dfrac{(u-a)(u-b)(u-c)}{a}$ elde edilir.
Bu durumda $[AI_1I_2]\geq \dfrac{16\cdot 14 \cdot 18}{32} = 126$ olur.