IMO shortlist 2023 G3

[diktendik]

$ABCD,\angle{BAD}<\angle{ADC}$ olan çembersel bir dörtgen olsun. $M$ noktası $A$'yı içermeyen $CD$ yayının orta noktası olsun. $ABCD$ dörtgeninin içinde $\angle{ADP}=\angle{PCB}$ ve $\angle{ADB}=\angle{CPD}$ olmasını sağlayan bir $P$ noktası alalım.
$AD,PM,BC$ doğrularının noktadaş olduğunu ispatlayınız.

[diktendik]

$P$'den geçip $BC$'ye paralel olan doğrunun $BD$ ile kesisimi $T$ olsun. $\angle{BCP}=\angle{CPT}$ olduğundan $\angle{TPD}=\angle{TDP}$ olur. $\angle{BTP}=2\angle{TDP}$ olur. Bu açı aynı zamanda $\angle{CBD}$'ye eşittir. Yani $\angle{CBD}=2\angle{TPD}$ olur. $M$ noktası orta nokta olduğundan $\angle{MPD}=\angle{BDP}$ olur. $MB||DP$ olduğu görülür. $\angle{BMA}=\angle{BDA}=\angle{CPD}$ olduğundan $CP||MA$'dır. Şimdi $D$'den geçip $MB$'ye paralel olan doğrunun $BC\cap AD$ ve $M$'den geçen doğruyla kesişimi olan $R$ noktası için $CR||MA$ olduğunu ispatlamalıyız. $BC\cap AD=Z$ olsun. $AM\cap ZB=J$ ve $BM\cap ZA=Q$ olsun. $\angle{CBM}=\angle{MAD}$ olduğundan $\angle{BQA}=\angle{BJA}$ olur. $JQAB$ çemberseldir. $JQ||CD$ olur. $\frac{|ZJ|}{|ZC|}=\frac{|ZQ|}{|ZD|}$ olur. Bu oran $MQ||DR$ paralelliğinden $ZDR$ üçgeninde benzerlik yazılırsa $\frac{|ZQ|}{|ZD|}=\frac{|ZM|}{|ZR|}$ olur. Demin bulduğumuz üzere $\frac{|ZJ|}{|ZC|}=\frac{|ZQ|}{|ZD|}$ olduğundan $\frac{|ZJ|}{|ZC|}=\frac{|ZM|}{|ZR|}$ olur. Bu orandan, $ZCR$ üçgeninde $JM||CR$ olduğu anlaşılır. İspat biter.