IMO shortlist 2023 G2

[diktendik]

$AC>BC$ olan dar açılı bir $ABC$ üçgeninde çevrel çember $w$ ve bu çemberin yarıçapı $r$ olsun. $[AC]$ üzerinde $BC=BP$ olmasını sağlayan bir $P$ noktası alınıyor. $P$'den $AB$'ye inen dikme ayağı $S$ olsun. $BP$'nin $w$ ile ikinci kesişimi $D$ olsun. $SP$ doğrusu üzerinde $P$'ye göre $S$ ile farklı tarafta olan ve $QP=r$ olmasını sağlayan bir $Q$ noktası alınıyor. $B$'den $DQ$'ya inen dikme ve $A$-dan $CQ$'ya inen dikmenin kesişimi $E$ olmak üzere $E$'nin $w$ üzerinde olduğunu ispatlayınız.

[diktendik]

Çevrel çemberde $|BC|=2\sin{\angle{BAC}}r$ ve $\angle {CAQ}=90^\circ-\angle{BAC}$ olduğundan $|QC|=|QP|$ olur. Cevrel merkez $O$ olsun. $\angle{BCO}=\angle{QCP}\Longrightarrow \angle{QCO}=\angle {BCA}$.  $|OD|=r$ ve açı taşımayla
($\triangle {PDA}$'nin ikizkenar olduğunu kullanarak açı taşınır.) $OQ$,$\angle{COD}$'nda iç açıortaydır. Deminki uzunluk ve bu açıdan $CODQ$ deltoittir$\Longrightarrow OC||DQ$. $B$'den $DQ$'ya inen dik $OC$'ye diktir. $\angle{CBE}=90^\circ-\angle{OCB}=\angle{CAB}$. Yani $AB$'nin $AC$'ye göre simetriği $E$'den geçiyor. İspat biter çünkü zaten $A$'dan $CQ$'ya inen dikme için $AC$ ile yaptığı dar açı $\angle{BAC}$'ye eşittir. Yani bu dikme simetrik dediğimiz doğrudur.

$NOT:$
Soruda $E$ noktası $B$'den $DQ$'ya inen dikmenin $w$'yi kestiği ikinci nokta olarak kullanılmıştır. $EA$'nın $CQ$'ya dik olduğunu ispatlayarak çözümü bitirdik.