Gönderen Konu: IMO shortlist 2023 G2  (Okunma sayısı 2515 defa)

Çevrimdışı diktendik

  • G.O Bağımlı Üye
  • *****
  • İleti: 122
  • Karma: +0/-0
IMO shortlist 2023 G2
« : Temmuz 31, 2024, 12:32:34 öö »
$AC>BC$ olan dar açılı bir $ABC$ üçgeninde çevrel çember $w$ ve bu çemberin yarıçapı $r$ olsun. $[AC]$ üzerinde $BC=BP$ olmasını sağlayan bir $P$ noktası alınıyor. $P$'den $AB$'ye inen dikme ayağı $S$ olsun. $BP$'nin $w$ ile ikinci kesişimi $D$ olsun. $SP$ doğrusu üzerinde $P$'ye göre $S$ ile farklı tarafta olan ve $QP=r$ olmasını sağlayan bir $Q$ noktası alınıyor. $B$'den $DQ$'ya inen dikme ve $A$-dan $CQ$'ya inen dikmenin kesişimi $E$ olmak üzere $E$'nin $w$ üzerinde olduğunu ispatlayınız.

Çevrimdışı diktendik

  • G.O Bağımlı Üye
  • *****
  • İleti: 122
  • Karma: +0/-0
Ynt: IMO shortlist 2023 G2
« Yanıtla #1 : Temmuz 31, 2024, 12:32:56 öö »
Çevrel çemberde $|BC|=2\sin{\angle{BAC}}r$ ve $\angle {CAQ}=90^\circ-\angle{BAC}$ olduğundan $|QC|=|QP|$ olur. Cevrel merkez $O$ olsun. $\angle{BCO}=\angle{QCP}\Longrightarrow \angle{QCO}=\angle {BCA}$.  $|OD|=r$ ve açı taşımayla
($\triangle {PDA}$'nin ikizkenar olduğunu kullanarak açı taşınır.) $OQ$,$\angle{COD}$'nda iç açıortaydır. Deminki uzunluk ve bu açıdan $CODQ$ deltoittir$\Longrightarrow OC||DQ$. $B$'den $DQ$'ya inen dik $OC$'ye diktir. $\angle{CBE}=90^\circ-\angle{OCB}=\angle{CAB}$. Yani $AB$'nin $AC$'ye göre simetriği $E$'den geçiyor. İspat biter çünkü zaten $A$'dan $CQ$'ya inen dikme için $AC$ ile yaptığı dar açı $\angle{BAC}$'ye eşittir. Yani bu dikme simetrik dediğimiz doğrudur.

$NOT:$
Soruda $E$ noktası $B$'den $DQ$'ya inen dikmenin $w$'yi kestiği ikinci nokta olarak kullanılmıştır. $EA$'nın $CQ$'ya dik olduğunu ispatlayarak çözümü bitirdik.
« Son Düzenleme: Temmuz 31, 2024, 02:38:15 öö Gönderen: diktendik »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal