Probleme bakıldığında akla iki ispat yolu gelebilir:
$i)$ Ağırlaştırılmış Aritmetik-Geometrik Ortalama:
Bu yoldan ilerlemeye çalışalım. Bunu yapmamızdaki sebep, yani motivasyonumuz eşitsizliğin sol tarafındaki toplamda katsayılar ile üslerin çarpımlarının $1$ olması. Ağırlaştırılmış AGO uygulandığında ise
$$LHS=\sum_{i=1}^{n}{\dfrac{1}{2^i}\left(\dfrac{2}{1+a_i}\right)^{2^i}}\geq \left(\sum_{i=1}^{n}{\dfrac{1}{2^i}}\right)\cdot \left(2\sum_{cyc}{\dfrac{1}{a_1+1}}\right)^{\dfrac{1}{\sum\limits_{i=1}^{n}{\dfrac{1}{2^n}}}}$$
Sonrasında ise $\sum\limits_{i=1}^{n}{\dfrac{1}{2^i}}=1-\dfrac{1}{2^n}$ olduğu kullanılabilir. Fakat bu ifade kökte de bulunduğundan kökte $n$ 'e bağlı bir ifade işleri zorlaştırabilir. Bundan dolayı ikinci yolla ispata devam etmek daha iyi olacaktır.
$ii)$ Tümevarım ve Teleskopik Toplam:
Sağ tarafındaki toplamın içi indise bağlı olması teleskobik toplamın yararlı olabileceğini gösteriyor. İspata bu yoldan başlayalım. Öncelikle problemin devamında kullanacağımız bir eşitsizlikten bahsedelim:
Lemma: Her $k$ pozitif tam sayısı ve $x,y$ pozitif reeli için
$$\left(\dfrac{2}{x+1}\right)^{2^k}+\left(\dfrac{2}{y+1}\right)^{2^k}\geq 2\left(\dfrac{2}{xy+1}\right)^{2^{k-1}}$$
eşitsizliği çalışır.
Lemmanın ispatı için tümevarım kullanalım. $k=1$ durumunun sağlandığını gösterelim.
$$\left(\dfrac{2}{x+1}\right)^2+\left(\dfrac{2}{y+1}\right)^2\geq 2\left(\dfrac{2}{xy+1}\right)$$
$$\Longleftrightarrow \dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}+\dfrac{1}{\left(y+1\right)^2}\geq \dfrac{1}{xy+1}$$
$$\Longleftrightarrow \left(\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2\right)\left(xy+1\right)\geq (x+1)^2(y+1)^2$$
ki bu ifade açıldığında $x^3y+xy^3+1\geq x^2y^2+2xy\Longleftrightarrow x^2y^2+1\geq 2xy$ ifadesine dönüşür ve doğrudur. Şimdi tümevarımı uygulayalım. $k=1$ durumunun çalıştığını biliyoruz, buna göre $k=p-1$ iken eşitsizlik çalışıyorsa $k=p$ iken de eşitsizliğin çalıştığını gösterelim. İlkin $A=\left(\dfrac{2}{x+2}\right)^{2^{p-1}}$ ve $B=\left(\dfrac{2}{y+2}\right)^{2^{p-1}}$ için $2(A^2+B^2)\geq (A+B)^2$ eşitsizliğine göre
$$2\left[\left(\dfrac{2}{x+2}\right)^{2^{p}}+\left(\dfrac{2}{y+2}\right)^{2^{p}}\right]\geq \left[\left(\dfrac{2}{x+2}\right)^{2^{p-1}}+\left(\dfrac{2}{y+2}\right)^{2^{p-1}}\right]^2\geq \left[2\left(\dfrac{2}{xy+1}\right)^{2^{p-2}}\right]^2$$
$$=4\left(\dfrac{2}{xy+1}\right)^{2^{p-1}}$$
$$\Longleftrightarrow \left(\dfrac{2}{x+2}\right)^{2^{p}}+\left(\dfrac{2}{y+2}\right)^{2^{p}}\geq 2\left(\dfrac{2}{xy+1}\right)^{2^{p-1}}$$
olur ki bu da ispatlanması istenendi. Dolayısıyla eşitsizlik tüm $k$ pozitif tam sayıları için çalışır.
Probleme geri dönecek olursak, eşitsizlik şuna denktir
$$\dfrac{1}{2^n}+\sum_{i=1}^{n}{\dfrac{1}{2^i}\left(\dfrac{2}{1+a_i}\right)^{2^i}}\geq \dfrac{2}{1+a_1a_2\ldots a_n}$$
Lemmayı kullanalım
$$\dfrac{1}{2^n}+\sum_{i=1}^{n}{\dfrac{1}{2^i}\left(\dfrac{2}{1+a_i}\right)^{2^i}}=\dfrac{1}{2^n}\left[1+\left(\dfrac{2}{1+a_n}\right)^{2^n}\right]+\sum_{i=1}^{n-1}{\dfrac{1}{2^i}\left(\dfrac{2}{1+a_i}\right)^{2^i}}\overbrace{\geq}^{\quad Lemma} $$
$$\dfrac{1}{2^{n-1}}\left(\dfrac{2}{1+a_n}\right)^{2^{n-1}}+\sum_{i=1}^{n-1}{\dfrac{1}{2^i}\left(\dfrac{2}{1+a_i}\right)^{2^i}}= $$
$$\dfrac{1}{2^{n-1}}\left[\left(\dfrac{2}{1+a_n}\right)^{2^{n-1}}+\left(\dfrac{2}{1+a_{n-1}}\right)^{2^{n-1}}\right]+\sum_{i=1}^{n-2}{\dfrac{1}{2^i}\left(\dfrac{2}{1+a_i}\right)^{2^i}}\overbrace{\geq}^{\quad Lemma} $$
$$\dfrac{1}{2^{n-2}}\left(\dfrac{2}{1+a_{n-1}a_n}\right)^{2^{n-2}}+\sum_{i=1}^{n-2}{\dfrac{1}{2^i}\left(\dfrac{2}{1+a_i}\right)^{2^i}}=$$
$$\dfrac{1}{2^{n-2}}\left[\left(\dfrac{2}{1+a_{n-1}a_n}\right)^{2^{n-2}}+\left(\dfrac{2}{1+a_{n-2}}\right)^{2^{n-2}}\right]+\sum_{i=1}^{n-3}{\dfrac{1}{2^i}\left(\dfrac{2}{1+a_i}\right)^{2^i}}\overbrace{\geq}^{\quad Lemma}$$
$$ \dfrac{1}{2^{n-3}}\left(\dfrac{2}{1+a_{n-2}a_{n-1}a_n}\right)^{2^{n-3}}+\sum_{i=1}^{n-3}{\dfrac{1}{2^i}\left(\dfrac{2}{1+a_i}\right)^{2^i}}$$
$$\vdots$$
$$=\dfrac{1}{2^2}\left[\left(\dfrac{2}{1+a_3a_4\ldots a_n}\right)^{2^{2}}+\left(\dfrac{2}{1+a_{2}}\right)^{2^{2}}\right]+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2}{1+a_i}\right)^{2}\overbrace{\geq}^{\quad Lemma} $$
$$\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2}{1+a_2a_{3}\ldots a_n}\right)^{2}+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2}{1+a_i}\right)^{2}$$
şeklinde teleskopik biçimde elde ettik. Son ifade içinse yine lemma kullanıldığında
$$LHS+\dfrac{1}{2^n}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2}{1+a_2a_{3}\ldots a_n}\right)^{2}+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2}{1+a_i}\right)^{2}=\dfrac{1}{2}\left[\left(\dfrac{2}{1+a_2a_3\ldots a_n}\right)^{2}+\left(\dfrac{2}{1+a_{1}}\right)^{2}\right]$$
$$\overbrace{\geq}^{\quad Lemma} \dfrac{2}{1+a_1a_2\cdots a_n}$$
$$\Longleftrightarrow LHS=\sum_{i=1}^{n}{\dfrac{1}{2^i}\left(\dfrac{2}{1+a_i}\right)^{2^i}}\geq \dfrac{2}{1+a_1a_2\cdots a_n}-\dfrac{1}{2^n}$$
elde edilir ve ispat tamamlanır.
