APMO 2024 #1

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Dar açılı bir $ABC$ üçgeninin sırasıyla $AB$ ve $AC$ kenarları üzerinde $D$ ve $E$ noktaları, $DE \parallel BC$ olacak şekilde alınsın. $BCED$ yamuğunun içinde bir $X$ noktası alınsın, öyle ki $[DX$ ve $[EX$ ışınları $BC$ 'yisırasıyla $B$ ile $C$ noktası arasında bulunan $P$ ve $Q$ noktalarında kesiyor. $BQX$ ve $CPX$ üçgenlerinin çevrel çemberi $Y\neq X$ noktasında kesişiyorsa $A$,  $X$ ve $Y$ noktalarının doğrusal olduğunu kanıtlayınız.

[diktendik]

$(BQX)\cap AB=T≠B,(CPX)\cap AC=Z≠C$ olsun. $TZCB$ çembersel olsaydı $(CPX),(BQX),(TZCB)$ için kuvvet ekseni teoreminden $YX$ $A$'dan geçerdi. Bunun ispatlamak soruyu bitirir. $$\angle{XQP}=\alpha,\angle{XPQ}=\theta\Longrightarrow \angle{DTX}=\angle{BEX}=\alpha, \angle{XDE}=\angle{XZE}=\theta$$$$\Longrightarrow\hspace{1mm}\text{T,X,E,Z,D çembersel}$$ buradan $\angle{DTZ}=\angle{DEZ}=\angle{ACB}\Longrightarrow\hspace{1mm}\text{TZCB çembersel}$ $\blacksquare$