1992 IMO Shortlist'ten Bileşik Sayı İspatı {Çözüldü}

[Lokman Gökçe]

Problem (1992 IMO Shortlist): $\dfrac{5^{125}-1}{5^{25}-1}$'in bileşik sayı olduğunu ispatlayınız.

[Metin Can Aydemir]

$5^{25}=k$ dersek, verilen ifade $P(k)=k^4+k^3+k^2+k+1$ olacaktır. Bu ifadeyi tamkareye tamamlamaya çalışalım. $$(k^2+ak+1)^2=k^4+2ak^3+(a^2+2)k^2+2ak+1$$ olduğundan $$P(k)=(k^2+ak+1)^2-(2a-1)k^3-(a^2+1)k^2-(2a-1)k$$ $$=(k^2+ak+1)^2-(2a-1)k\left(k^2+\frac{a^2+1}{2a-1}+1\right)$$ olacaktır. $a=3$ seçersek, $$P(k)=(k^2+3k+1)^2-5k(k+1)^2$$ elde edilir. $5k=5^{26}$ tamkare olduğundan, iki kare farkı elde ederiz. Çarpanlarına ayırırsak, $$(k^2+3k+1-5^{13}(k+1))(k^2+3k+1+5^{13}(k+1))$$ ifadesinde iki çarpan da $1$'den büyük olduğundan bu sayı bileşik sayıdır.