USAJMO 2013 #5

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$XY$ çaplı $w$ yarım çemberinin içerisinde bulunan $XABY$ kirişler dörtgeni için $AY\cap BC=P$ olsun. $P$ noktasından $XY$ doğrusuna inilen dikme ayağı $Z$ olmak üzere, $w$ çemberi üzerinde $AZ\perp XC$ olacak şekilde bir  $C$ noktası alınsın. $AY$ ile $XC$ doğruları $Q$ noktasında kesişiyorsa
$$\dfrac{BY}{XP}+\dfrac{CY}{XQ}=\dfrac{AY}{AX}$$
eşitliğini ispatlayınız.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$\angle CXY=\alpha$ ve $\angle BXC=\beta$ olsun. Diklikten ($AZ\perp XC$) dolayı $\angle AZP=\alpha$ dır. Ayrıca $APZX$ dörtgeni çembersel olduğundan $\angle AXP=\angle AZP=\alpha$ olacaktır. Problemdeki eşitliğinnsol tarafındaki ilk ifadeyle yani $BY/XP$ ile ilgilenelim. Buna göre, $\triangle BXY$ 'de Sinüs Teoremi'nden $$\sin(\alpha+\beta)=\dfrac{BY}{2R}\Longleftrightarrow BY=2R\cdot \sin(\alpha+\beta)$$
dır. Benzer şekilde $\triangle AXY$ 'de $AX=2R\cdot \cos(2\alpha+\beta)$ olur. O zaman bunları birleştirmek için $\triangle AXP$ 'de ise
$$\cos\alpha=\dfrac{AX}{XP}=\dfrac{2R\cdot \cos(2\alpha+\beta)}{XP}\Longleftrightarrow XP=\dfrac{2R\cdot \cos(2\alpha+\beta)}{\cos\alpha}$$
olduğu görülür. Dolayısıyla ilk ifade için

$$\dfrac{BY}{XP}=\dfrac{2R\cdot \sin(\alpha+\beta)}{\dfrac{2R\cdot \cos(2\alpha+\beta)}{\cos\alpha}}=\dfrac{\sin(\alpha+\beta)\cdot \cos(\alpha)}{\cos(2\alpha+\beta)}$$
elde edilir. Problem eşitliğinin sol tarafında  ikinci ifade için de benzer işlemleri uygulayalım. $\triangle CXY$ 'de Sinüs Teoremi gereğince $CY=2R\cdot \sin\alpha$ dır. Öte taraftan $\triangle AXQ$ 'da ise
$$\cos(\alpha+\beta)=\dfrac{AX}{XQ}=\dfrac{2R\cdot \cos(2\alpha+\beta)}{XQ}\Longleftrightarrow XQ=\dfrac{2R\cdot \cos(2\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}$$
olduğu görülür. Dolayısıyla buna göre eşitliğin sol tarafı için ikinci ifade

$$\dfrac{CY}{XQ}=\dfrac{2R\cdot \sin\alpha}{\dfrac{2R\cdot \cos(2\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}}=\dfrac{\sin\alpha+\cos(\alpha+\beta)}{\cos(2\alpha+\beta)}$$
olarak belirlenir. Buna göre bu iki ifade toplandığında
$$\dfrac{BY}{XP}+\dfrac{CY}{XQ}=\dfrac{\sin(\alpha+\beta)\cdot \cos(\alpha)}{\cos(2\alpha+\beta)}+\dfrac{\sin\alpha+\cos(\alpha+\beta)}{\cos(2\alpha+\beta)}$$
$$=\dfrac{\sin(2\alpha+\beta)}{\cos(2\alpha+\beta)}=tan(2\alpha+\beta)\overbrace{=}^{?} \dfrac{AY}{AX}$$
ki son ifade $\angle AXY=2\alpha+\beta$  olduğundan barizdir.