AIME 1999 #14

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$AB,BC,CA$  kenarları sırasıyla $13,14,15$  olan bir $ABC$ üçgeninin içerisinde alınan bir $P$ noktası için  $\angle PAB=\angle PBC=\angle PCA$  ise, $\tan\angle PAB$  değerini bulunuz.

[geo]

$AP$ nin uzantısı $(BPC)$ çevrel çemberini $D$ noktasında kessin.
$D$ noktasından $AB$ kenarına indirilen dikmenin ayağı $H$ olsun.

$\dfrac{DH}{AH}$ oranını bulmamız gerekiyor.

$\angle CBD = \angle CPD = \angle PAC+\angle PCA=\angle PAC+\angle PAB =\angle BAC$ olduğundan, $\angle HBD = \angle ACB$.
$\angle BAD =\angle CDA$ olduğundan, $AB \parallel CD$ ve $\angle ABD = \angle BCD$ olur. Bu durumda, $\triangle ABC \sim \triangle BCD$ olur.

$AH_A$, $\triangle ABC$'nin yüksekliklerinden biri olsun.
Pisagor Teoremi'ne göre, $BH_A=5$, $CH_A=9$ ve $AH_A=12$ olur.
$BD=15k$ olarak alalım. Bu durumda $DH=12k$ ve $BH=9k$.

Son durumda $\dfrac{DH}{AH}=\dfrac{12k}{13+9k}$ olduğu için $k$'yi bulmamız gerek.

Bu, $\triangle BCD$ ve $\triangle ABC$ arasındaki benzerlik oranıdır. $k=BD/AC = BC/AB=14/13$.

$\dfrac{DH}{AH}=\dfrac{12k}{13+9k}=\dfrac{168}{295}$.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Gösterim kolaylığı için $\angle PAB=\angle PBC=\angle PCA=\alpha$ olsun. Buna göre sırasıyla $\triangle PAB$,  $\triangle PBC$ ve $\triangle PCA$ 'da Kosinüs Teoremi'ne göre
$$BP^2=13^2+AP^2-26.AP.\cos\alpha$$
$$CP^2=14^2+BP^2-28.BP.\cos\alpha$$
$$AP^2=15^2+CP^2-30.CP.\cos\alpha$$
elde edilir. Bu bağıntılar toplandığında ise
 $2.\cos\alpha.\left(13.AP+14.BP+15.CP\right)=590$  elde edilir. Öte taraftan, hem Heron hem de Sinüs Alan bağıntılarıyla
$$[ABC]=\sqrt{21.6.7.8}=84=\dfrac{\sin\alpha.\left(13.AP+14.BP+15.CP\right)}{2}$$
$$\Longleftrightarrow 13.AP+14.BP+15.CP=\dfrac{168}{\sin\alpha}$$
olarak belirlenir. Bunu az önceki bağıntıda yerine koyarsak
$$2.\cos\alpha.\left(13.AP+14.BP+15.CP\right)=2\cos\alpha\cdot \dfrac{168}{\sin\alpha}=590$$
$$\Longleftrightarrow \tan\alpha=\dfrac{336}{590}=\dfrac{168}{295}$$
olarak bulunur.