Baltic Way 1993 #18

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Kenarları $AB=15,BC=12$ ve $AC=13$ olan $ABC$ üçgeninde $AM$ ($M\in BC$) kenarortayı ve $BK$ ($K\in AC$) iç açıortayı $O$ noktasında kesişsin. $L\in AB$ için $OL\perp AB$ olsun. Buna göre $\angle OLK=\angle OLM$ olduğunu ispatlayınız.

[geo]

$AB/BM = AO/OM = 5/2$.
$AM=7k$ diyelim.

$\triangle ABC$ de kenarortay teoreminden $$AM^2 = \dfrac {15^2 + 13^2}2 - \dfrac {12^2}4 = 161 = 7 \cdot 23 = 49k^2 \Longrightarrow 7k^2 = 23 \tag {1}$$
$\triangle ABM$ de açıortay teoreminden $BO^2 = 15\cdot 6 - 5k\cdot 2k = 90 - 10k^2$.
$$AO^2 - BO^2 = 25k^2 - (90-10k^2) = 35k^2 - 90 = 115 - 90 = 25 \tag {2}$$
$AC^2 - BC^2 = 13^2 - 12^2 = 25 = AO^2 - BO^2$ olduğu için $CO \perp AB$ yani, $C$, $O$, $L$ doğrusaldır.

$O$ noktası için Ceva Teoreminden $AL/BL = AK/KC$ (Kesenlerden biri kenarortay olduğunda, diğerleri kenarları aynı oranda böler. Paralellik vardır.).

Paralellikten $\angle OLK = \angle CLK = \angle MCL$.
Dik üçgende hipotenüsün orta noktası için $LM = MC$. Dolayısıyla $\angle MCL = \angle CLM = \angle OLM$.

[geo]

İlk çözümdeki $CO \perp AB$ yi sezgisel olarak göremediysek, soruya tersten yaklaşarak da çözüme gidebiliriz:

$LM$ ile $BK$, $N$ de kesişsin.
$\triangle NLK$ de, $LO$ nun açıortay olduğunu göstermemiz isteniyor.
$LO$ açıortay olduğu zaman, $LB$ dış açıortay olacaktır.
Bu durumda $$\dfrac {LN}{LK} = \dfrac {ON}{OK} = \dfrac {BN}{BK} \tag {1}$$ olması gerekecek.

Açıortay Teoreminden $AO/OM = AB/BM = 5/2$ ve $AK/KC = AB/BC = 5/4$.

$\triangle BOM$ da, $A,K,C$ noktaları için Menelaus'tan $$\dfrac {BK}{KO} \dfrac {OA}{AM} \dfrac {MC}{BC} = 1 = \dfrac {BK}{KO} \cdot \dfrac 57 \cdot \dfrac {6}{12} \Longrightarrow \dfrac {BK}{KO} = \dfrac {14}{5} \tag {2}$$

$\dfrac {BN}{ON} \stackrel{?}{=} \dfrac {BK}{OK} = \dfrac {14}{5}$ olduğunu göstermemiz isteniyor.

$\triangle BAO$ da, $M, N, L$ noktaları için Menelaus'tan $$\dfrac {BL}{LA} \dfrac {AM}{MO}\dfrac {ON}{NB} = 1 \stackrel{?}{=} \dfrac {BL}{LA} \cdot \dfrac 72 \dfrac {5}{14} \Longrightarrow \dfrac {BL}{LA} \stackrel{?}{=} \dfrac {4}{5}$$

$\dfrac {BL}{LA} \cdot \dfrac {AK}{KC} \cdot \dfrac {CM}{MB} \stackrel {?}{=} \dfrac {4}{5} \cdot \dfrac {5}{4} \cdot 1 = 1$ olduğu için $C$, $O$, $L$ doğrusal yani $CO \perp AB$ olduğunu göstermemiz gerekir.

Daha sonra, ilk çözümdeki adımları uygulayarak sonuca gidebiliriz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$CL\perp AB$ olduğunu trigonometrik bir şekilde gösterelim. Şayet ilkin $C,O,L$ noktalarınîn doğrudaş olacağını düşünmemiştim. İç Açıortay Teoremi'yle $AM=\sqrt{161}, AO=\dfrac{5\sqrt{161}}{7},OM=\dfrac{2\sqrt{161}}{7},BO=\dfrac{20}{\sqrt{7}}$ uzunlukları hesaplanabilir. Buna göre $\triangle AOB$ ve $\triangle ABM$ 'de Sinüs Teoremi'ne göre

$$\dfrac{\sin\angle KBA}{\sin\angle BAM}=\dfrac{AO}{BO}=\dfrac{\dfrac{5\sqrt{161}}{7}}{\dfrac{20}{\sqrt{7}}}=\dfrac{\sqrt{23}}{4}\qquad , \qquad \dfrac{\sin2\angle ABK}{\sin\angle BAM}=\dfrac{AM}{6}=\dfrac{\sqrt{161}}{6}$$
Buna göre bu iki ifade oranlandığında $2\cos\angle ABK=\dfrac{2\sqrt{7}}{3}$ bulunur. O zaman
$$\cos\angle ABK=\dfrac{BL}{OB}=\dfrac{\sqrt{7}}{3}\Longleftrightarrow BL=\dfrac{OB\sqrt{7}}{3}=\dfrac{20}{3}$$
olur. Ayrıca da $AL=\dfrac{25}{3}$ elde edilir. $AL/BL=5/4=AK/KC$ olduğundan $CL\perp AB$ belirlenir. Devamında ise geo hocamızın ilk çözümü takip edilebilir.

[geo]

Bu sorunun kökünü Yükseklik-açıortay-kenarortay noktadaşlığı konusunda işlemiştim.

Sorunun konfigürasyonu neredeyse o sorulara benziyordu.
Yüksekliği çizdikten sonra açı eşitliğinin geleceğini görmem çok zaman almadı.