İç teğet çember ve dik üçgen

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Problem [AoPS]: $\angle ABC=90^{\circ}, AB=3, BC=4$ olan $ABC$ dik üçgeninde iç teğet çember merkezi $I$'dan $AB$'ye paralel doğru iç teğet çemberi $BC$ üstünde olmayan $E$ noktasında kesmektedir. Buna göre $AE \cap BC=F$ olmak üzere $EF^2$ değerini bulunuz.

[geo]

İç teğet çember $BC$ ve $AB$ ye sırasıyla $P$ ve $Q$ da dokunsun.
$BP=IP=IQ=BQ=IE=1$.
$E$ den $AB$ ye inilen dikmenin ayağı $R$ olsun. $IERQ$ bir kare, dolayısıyla $AR=ER=IE=1$.
$\angle EFP = \angle AER = 45^\circ$. $EF^2 = PE^2 + PF^2 = 2PE^2 = 2\cdot 4 = 8$.

Not:
İç merkezi $I$ olan herhangi bir $ABC$ üçgeninde, iç teğet çember $BC$ ye $P$ de dokunmuş olsun. $IP$ iç teğet çemberi $E$ de kessin. $AE$ doğrusu $BC$ yi $F$ de kessin. $2u=a+b+c$ olmak üzere; $BP=CF=u-a$ dır.
Bu durumda $BP=CF=1$ ve $PF=2$ ve $EP=2$ olacağından $EF^2 = 8$ olacaktır.