Buradaki asıl püf nokta $\left\lfloor\frac{ai}{b}\right\rfloor$'nin ne olduğunu görebilmek. Eğer $ai=bq_i+r_i$ şeklinde bir bölme algoritması uygularsak ($q_i\geq 0$ ve $0\leq r_i<b$), buradaki $q_i$ her zaman $\left\lfloor\frac{ai}{b}\right\rfloor$'dir. Yani $$\sum_{i=0}^{b-1}\left\lfloor\frac{ai}{b}\right\rfloor=\sum_{i=0}^{b-1}q_i=\frac{1}{b}\left(\sum_{i=0}^{b-1}ai-\sum_{i=0}^{b-1}r_i\right)$$ olacaktır. $r_i$ kalanlarının ne olabileceğine bakalım. Öncelikle $ai-bq_i=r_i$ olduğundan $(a,b)\mid r_i$'dir. Yani $r_i\in \{0,(a,b),2(a,b),\dots, b-(a,b)\}$ olacaktır. $i$ indeksi $0$'dan $b-1$'e kadar incelendiğinden, yani $b$ modunda tam bir tur attığından, bu $r_i$ değerlerinin her biri eşit sayıda alınır. Yani her değer $(a,b)$ defa alınır. Buradan $$\sum_{i=0}^{b-1}r_i=(a,b)\left(0+(a,b)+2(a,b)+\cdots+(b-(a,b))\right)=(a,b)^2\left(1+2+\cdots+\left(\frac{b}{(a,b)}-1\right)\right)$$ $$=\frac{(a,b)^2\left(\frac{b}{(a,b)}\right)\left(\frac{b}{(a,b)}-1\right)}{2}=\frac{b^2-b(a,b)}{2}$$ olacaktır. Buradan da $$\sum_{i=0}^{b-1}\left\lfloor\frac{ai}{b}\right\rfloor=\frac{1}{b}\left(\sum_{i=0}^{b-1}ai-\sum_{i=0}^{b-1}r_i\right)=\frac{1}{b}\left(\frac{a(b-1)b}{2}-\frac{b^2-b(a,b)}{2}\right)=\frac{ab+(a,b)-a-b}{2}$$ elde edilir. Bu ifade $a$ ve $b$'ye göre simetrik olduğundan $$\sum_{k=0}^{a-1}\left\lfloor\frac{bk}{a}\right\rfloor=\sum_{i=0}^{b-1}\left\lfloor\frac{ai}{b}\right\rfloor=\frac{ab+(a,b)-a-b}{2}$$ olacaktır. $(a,b)\geq 1$ olduğundan $$\sum_{k=0}^{a-1}\left\lfloor\frac{bk}{a}\right\rfloor=\sum_{i=0}^{b-1}\left\lfloor\frac{ai}{b}\right\rfloor=\frac{ab+(a,b)-a-b}{2}\geq \frac{ab-a-b+1}{2}=\frac{1}{2}(a-1)(b-1)$$ olacaktır. Eşitlik durumu ise $a$ ve $b$ aralarında asal iken sağlanır.
