$P$ polinomunun karekalanlığı

[Metin Can Aydemir]

$p$ asalı, $4k+3$ formatında bir asal sayıdır. $P$ polinomu ise $$P(x)=x^p+x^{p-1}-x^{p-2}-x^{p-3}+\cdots+x^3+x^2-x-1$$ olarak tanımlanıyor (sırayla iki terimin katsayısı $+1$, sonraki iki terimin katsayısı $-1$, sonra $+1$ vs şeklinde ilerliyor.) $P(2)$ ve $P(-2)$'nin $p$ modunda karekalan olduğu biliniyorsa $P(3)$ ve $P(7)$'nin karekalanlığı hakkında ne söylenebilir? (Metin Aydemir)

$p$ tek bir asal sayı ve $a$ tamsayısı $(a,p)=1$ olmak üzere $x^2\equiv a\pmod{p}$ denkliğinin çözümü varsa $a$'ya $p$ modunda karekalan denir.

[Metin Can Aydemir]

Polinomu çarpanlarına ayıralım. $$x^{n}+x^{n-1}-x^{n-2}-x^{n-3}=x^{n-3}(x^3+x^2-x-1)=x^{n-3}(x-1)(x+1)^2$$ olduğundan $$P(x)=(x^{p-3}+x^{p-7}+x^{p-11}+\cdots+x^4+1)(x-1)(x+1)^2$$ olacaktır. $1+t+t^2+\cdots+t^n=\frac{t^{n+1}-1}{t-1}$ olduğundan $$P(x)=\frac{(x^{p+1}-1)(x-1)(x+1)^2}{x^4-1}=\frac{(x^{p+1}-1)(x+1)}{x^2+1}$$ olacaktır. $p\equiv 3\pmod{4}$ olduğundan $p\nmid x^2+1$'dir. Eğer $p$ modunda incelersek, Fermat teoreminden $$P(x)\equiv \frac{(x^2-1)(x+1)}{(x^2+1)}\equiv \frac{(x-1)(x+1)^2}{(x^2+1)}\pmod{p}$$ $$\iff (x^2+1)^2P(x)\equiv (x-1)(x^2+1)(x+1)^2\pmod{p}$$ olacaktır. $x\not\equiv \pm 1\pmod{p}$ için $P(x)$'nin karekalanlığı ile $(x-1)(x^2+1)$'in karekalanlığı aynıdır. Ayrıca $-1$ karekalan değildir.

$P(2)$ ve $P(-2)$ karekalan olduğundan $(2-1)(2^2+1)=5$ ve $(-2-1)(2^2+1)=-15$ karekalandır. $-15=(-1)\cdot 3\cdot 5$ olduğundan $3$ karekalan değildir.

$P(3)$'ün karekalandır çünkü $(3-1)(3^2+1)=20=2^2\cdot 5$ karekalandır. $P(7)$ karekalan değildir çünkü $(7-1)(7^2+1)=2^2\cdot 3\cdot 5^2$'dir ve $3$ karekalan değildir.