JBMO Shortlist 2023 #G.5

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$ABC$ üçgeninin $I$ merkezli iç teğet çemberi sırasıyla $BC, CA, AB$ kenarlarına $D,E,F$ noktalarında teğettir. Buna göre $M$, $BC$ kenarının orta noktası olmak üzere, $M$'den $EF$'ye indirilen dikme ayağı $G$ olsun. $ID$ doğrusunun $MGI$ üçgeninin çevrel çemberine teğet olduğunu gösteriniz.

[geo]

$AI$, $EF$ ve $BC$ sırasıyla $H$ ve $N$ de kessin.
$AH\perp EF$ olduğu için $GM \parallel AN$ olacaktır.
Soruda bizden $\angle MGI = \angle MID$ olduğunu göstermemiz isteniyor. Bu da $\angle HGI=\angle DMI$ ve $\triangle HGI \sim \triangle DMI$ demektir.
$\angle BAN =\alpha$, $\angle ACB=\theta$, $BC=a$, $AC=b$, $AB=c$, $u=\dfrac{a+b+c}{2}$ ve $ID=r$ olsun.
Çizim kolaylığı açısından $b>c$ olsun.
$\angle IFH=\angle FAI=\alpha$ olduğu için $IH=IF\sin \alpha=r\sin \alpha$ dır. Bu durumda $HGI$ ve $DMI$ üçgenlerinin benzerlik oranı $\sin \alpha$ olur. Soru $$\dfrac{HG}{DM}=\sin \alpha \tag{1}$$ olduğunu göstermeye döndü.

$N$ den $MG$ ye indirilen dikmenin ayağı $J$ olsun.
$HG=NJ$ ve $\sin \angle JMN =\sin (\alpha+\theta)=\dfrac{NJ}{NM}=\dfrac{HG}{NM}$ olacaktır.

$DM=\dfrac a2 - (u-b)= \dfrac{b-c}2$  ve $NM=BM-BN=\dfrac a2 - \dfrac{ac}{b+c}=\dfrac{a(b-c)}{2(b+c)}$ değerleri ile
$$\dfrac{HG}{DM}=\dfrac{NM\sin (\alpha +\theta)}{DM}=\dfrac{a}{b+c}\cdot \sin (\alpha +\theta)\tag{2}$$ elde ederiz.

$ABN$ üçgeninde Sinüs oranlarını yazarak $\dfrac{\sin \angle BAN}{\sin\angle ANB}=\dfrac{\sin \alpha}{\sin (\alpha+\theta)}=\dfrac{BN}{AB}=\dfrac{NC}{AC}=\dfrac{BN+NC}{AB+AC}=\dfrac{a}{b+c}$ elde ettiğimiz değeri $(2)$ de yerine yazarak $(1)$ i elde ederiz.

[geo]

$AI$ doğrusu; $EF$ yi $H$ de, $BC$ yi $N$ de, $(ABC)$ çevrel çemberini $K$ de kessin.

$\angle CBK = \angle CAN = \angle BAN$ olduğu için $\triangle KBN \sim \triangle KAB$.
$$\dfrac{KN}{KB} = \dfrac {BN}{AB} = \dfrac {IN}{AI}$$

$\angle IBK = \angle IBN + \angle NBK = \angle IBA + \angle BAI = \angle BIK$ olduğu için $KI=KB$.
$KM \perp BC$ ve $IN \perp BC$ olduğu için $$\dfrac {NM}{DM} = \dfrac {KN}{KI} = \dfrac {KN}{KB} = \dfrac {IN}{AI} \tag{1}$$

$N$ den $MG$ ye inilen dikmenin ayağı $J$ olsun. $NJ = HG$.
$\triangle INL \sim \triangle NJM$ olduğu için $$\dfrac {HG}{NM} = \dfrac {NJ}{NM} = \dfrac {ID}{IN} \tag{2}$$

Öklit'ten $HI \cdot AI = IF^2 = ID^2$.

$(1)$ ile $(2)$ yi taraf tarafa çarparsak $$\dfrac{HG}{DM} = \dfrac{ID}{AI} = \dfrac {HI}{ID }$$ elde ederiz. Bu da $\triangle HIG \sim \triangle DIM$ olduğu anlamına gelir. $\angle DIM = \angle HIG = \angle IGM$ olur. Bu durumda $ID$ doğrusu $(MGI)$ çemberine teğettir.

[geo]

$AI$, $BI$, $CI$ doğruları $EF$ doğrusunu sırasıyla $H$, $K$ ve $L$ noktalarında kessin.

$\angle ABI = \angle CBI = \beta$ ve $\angle ACI = \angle BCI = \theta$ olsun.
$\angle AFE = \angle AEF = \beta + \theta$ olcaktır. Bu durumda, $\angle ELC = \beta$ olacaktır.
$\angle ELC = \angle ABI = \beta$ olduğu için $I$, $L$, $F$, $B$ noktaları çemberseldir. $\angle ILB = \angle IFB = 90^\circ$ olacaktır.

Benzer şekilde $\angle IKC = 90^\circ$ dir.
Bu durumda $B, L, K, C$ noktaları merkezi $M$ olan çember üzerindedir. Yani $ML=MK$.
$MG \perp EF$ ve $ML=MK$ olduğu için $GL=GK$ dir.
$\angle KLI = \angle CBI$ olduğu için $\triangle KLI \sim \triangle CBI$.
Bu üçgenlerde $IH$ ve $ID$ yükseklik, $IG$ ve $IM$ de kenarortay olduğu için $\angle DIM = \angle HIG = \angle IGM$ olacaktır. Bu da $ID$ doğrusunun $(MGI)$ çevrel çemberine teğet olduğu anlamına gelir.