AIME 2024 Problem 1.10

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$|AB|=5, |BC|=9$ ve $|CA|=10$ olan bir $ABC$ üçgeninin çevrel çemberine $B$ ve $C$ noktalarında teğet olan doğrular $D$ noktasında kesişiyor. Buna göre $AD$ doğrusu çevrel çemberi ikinci kez $P$ noktasında kesiyorsa $|AP|$ değerini bulunuz.

[geo]

Cevap: $\dfrac {100}{13}$

$AP$ ile $BC$, $Q$ noktasında kesişsin.

İddia: $\dfrac {BQ}{CQ} = \dfrac {AB^2}{AC^2}$

İspat:

$\triangle DPB \sim \triangle DBA$ dan $\dfrac {BP}{AB} = \dfrac {PD}{BD}$

$\triangle DPC \sim \triangle DCA$ dan $\dfrac {CP}{AC} = \dfrac {PD}{CD}$

Taraf tarafa oranlarsak $\dfrac {BP}{CP} = \dfrac {AB}{AC}$ olur.


$\dfrac {BQ}{BP} = \dfrac {\sin \angle BPQ}{\sin \angle BQP }$ ve $\dfrac {CQ}{CP} = \dfrac {\sin \angle CPQ}{\sin \angle CQP }$ eşitliklerini taraf tarafa oranlarsak $$\dfrac {BQ}{CQ} = \dfrac {BP}{CP} \cdot \dfrac {\sin \angle BPQ}{\sin \angle CPQ} = \dfrac {BP}{CP} \cdot \dfrac {\sin \angle ACB}{\sin \angle ABC} = \dfrac {BP}{CP} \cdot \dfrac {AB}{AC} = \dfrac {AB^2}{AC^2}$$
$\blacksquare$

Sorudaki değerleri yerine yazarsak, $BQ/CQ = 1/4$ ve $BQ=\dfrac {9}{5}$ olur. İşlem kolaylığı açısından $BQ=x$ diyelim.

$\triangle ABC$ de Stewart uygularsak $AQ^2 = \dfrac {5^2 \cdot 4x + 10^2\cdot x}{5x} - 4x^2 = 40 - 4x^2 = 4(10-x^2) =  4\left (10 - \dfrac {81}{25} \right ) = \dfrac {4\cdot 169}{25} \Longrightarrow AQ = \dfrac {26}{5}$.

$Q$ noktasının $(ABC)$ ye göre kuvvetinden $AQ\cdot PQ = BQ \cdot CQ \Longrightarrow PQ = \dfrac {4x^2}{AQ}$ ve $AP = AQ + PQ = \dfrac {AQ^2 + 4x^2}{AQ} = \dfrac {40 - 4x^2 + 4x^2}{\dfrac {26}{5}} = \dfrac {100}{13}$.

[geo]

$\triangle ABC$ üçgeninde $BC$ ye ait kenarortaysı kenarı $AB^2:AC^2$ oranında böleceği için ilk çözümdeki iddianın sonucu olarak $\triangle ABC$ de $AQ$ kenarortaysıdır.

Bu sorudaki konfigürasyon aslında bilinen bir özellik. bkz. Symmedian ve bkz. Construction of the symmedian

$AP$ nin kenarortaysı olduğunu fark ettikten sonra kenarortay teoremi ve benzerlikten de çözüme gidilebilir:

$BC$ nin orta noktası $M$ olsun. $AM^2 = \dfrac {AB^2}{2} + \dfrac {AC^2}{2} - \dfrac {BC^2}{4} = \dfrac {25}{2} + \dfrac {100}{2} - \dfrac {81}{4} = \dfrac {169}{4}$ ve $AM=\dfrac {13}{2}$ olur.

$\triangle BAP \sim \triangle MAC$ olduğu için $$\dfrac {AP}{AC} = \dfrac {BA}{MA} \Longrightarrow AP = \dfrac {AC \cdot BA}{ MA} = \dfrac {10 \cdot 5}{\dfrac {13}{2}} = \dfrac {100}{13}$$

[geo]

$\triangle DPB \sim \triangle DBA$ dan $\dfrac {BP}{AB} = \dfrac {PD}{BD}$

$\triangle DPC \sim \triangle DCA$ dan $\dfrac {CP}{AC} = \dfrac {PD}{CD}$

Taraf tarafa oranlarsak $\dfrac {BP}{CP} = \dfrac {AB}{AC} = \dfrac 12$ olur.

$[PA]$ üzerinde $\angle ECA = \angle BCP$ olacak şekilde $E$ noktası alalım. $\angle PBC = \angle EAC$ olduğu için $\triangle AEC \sim \triangle BPC$ olacaktır. $AE=x$ dersek, $EC=2x$ ve $PC=\dfrac {9x}{5}$ olur.

$\angle PCE = \angle BCA$ ve $\angle EPC = \angle ABC$ olduğu için $\triangle EPC \sim \triangle ABC$. $EC=2x$ olduğu için $EP=x$ olur.

$\triangle APC$ üçgeninde kenarortay teoreminden $2(EC^2 + AE^2) = CP^2 + AC^2 \Longrightarrow 2(4x^2 + x^2) = \dfrac {81x^2}{25} + 100 \Longrightarrow x = \dfrac {50}{13}$ $\Longrightarrow AP = 2x = \dfrac {100}{13}$.