JBMO Shortlist 2023 #A.5 {çözüldü}

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$a\geq b\geq 1\geq c\geq 0$  koşulunu sağlayan tüm $a,b,c$ reel sayıları için $a+b+c=3$  ise


$$3\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)\geq 4c^2+\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{a}$$


olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Eşitsizlik üzerinde biraz oynandığında
$$3\left(a^2+b^2\right)\geq 4abc^2+a^3+b^3$$
olduğunu göstermemiz gerektiği anlaşılabilir. Buna göre $a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)-ab(a+b)$  olduğunu kullandığımızda
$$3\left(a^2+b^2\right)\geq 4abc^2+a^3+b^3\Longleftrightarrow \left(3-a-b\right)\left(a^2+b^2\right)+ab(a+b)\geq 4abc^2$$
Problem koşulu $a+b+c=3$ olduğundan dolayı eşitsizlik
$$a^2c+b^2c+a^2b+ab^2\geq 4abc^2$$
ifadesine dönüşür ki son eşitsizlik ise Aritmerik-Geometrik Ortalama'dan
$$a^2c+b^2c+a^2b+ab^2\geq 4ab\sqrt[4]{abc^2}\geq 4abc^2\Longleftrightarrow a,b\geq 1,\quad c\leq 1$$
görüldüğü üzere açıktır ve ispat biter.