JBMO Shortlist 2023 #A.4 {çözüldü}

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Her $a,b,c,d$ pozitif reel sayıları için  $abcd=1$  ise


$$\sqrt{\dfrac{a}{b+c+d^2+a^3}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+d+a^2+b^3}}+\sqrt{\dfrac{c}{d+a+b^2+c^3}}+\sqrt{\dfrac{d}{a+b+c^2+d^3}}\leq 2$$


olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Cauchy-Schwarz veya Jensen'den
$$\sum_{cyc}{\sqrt{\dfrac{a}{b+c+d^2+a^3}}}\leq \sqrt{4\sum_{cyc}{\dfrac{a}{b+c+d^2+a^3}}}\leq 2$$
olduğu söylenebilir. O zaman aşağıdaki ifadeyi
$$\sum_{cyc}{\dfrac{a}{b+c+d^2+a^3}}\leq 1$$
göstermek problemin ispatında yeterli olacaktır. Buna göre yine Cauchy ile
$\left(b+c+d^2+a^3\right)\left(b+c+1+\dfrac{1}{a}\right)\geq \left(a+b+c+d\right)^2$  olduğunu biliyoruz. Bunu ifadeye uygularsak

$$\sum_{cyc}{\dfrac{a}{b+c+d^2+a^3}}\leq \dfrac{\sum\limits_{cyc}{a\left(b+c+1+\dfrac{1}{a}\right)}}{\left(a+b+c+d\right)^2}=\dfrac{\sum\limits_{sym}{ab}+ac+bd+a+b+c+d+4}{\left(a+b+c+d\right)^2}\overbrace{\geq}^{?} 1$$
Ki bu eşitsizlik ise
$$a^2+b^2+c^2+d^2+\left(a+c\right)\left(b+d\right)\geq a+b+c+d+4$$
$$\Longleftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2\geq a+b+c+d$$
biçiminde gösterilebilir. Son ifade ise $$a^2+b^2+c^2+d^2\geq \dfrac{\left(a+b+c+d\right)^2}{4}\geq a+b+c+d \Longleftrightarrow a+b+c+d\geq 4$$ olduğundan doğrudur ve ispat tamamlanır.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Bildiğiniz üzere dün, 27 Haziran 2024 tarihinde Genç Balkan Matematik Olimpiyatı- namıdeğer JBMO düzenlendi. Bunun üzerine olimpiyatın ertesi günü yani bu sabah, bir önceki senenin Shortlist problemleri yayınlandı. Bunlardan birkaçını foruma girmeyi düşünüyorum.

Konumuza dönecek olursak, bu problemin arkasındaki ana motivasyon kaynağımız aslında JBMO Shortlist 2019 #A.5'e gerek problem koşulu gerekse de paydalar bakımından çok benziyor. İkisi de temelde benzer metotlar içeriyor. Bahsettiğim problemin 3 farklı genelleştirmesini de Genelleştirilmiş JBMO 2019 #A.5 bağlantısında paylaşmıştım, birinin ispatı bulunuyor. Oradaki genelleştirmelere benzer birkaç problem bu JBMO 2023 #A.5 için de konjektüre edilebilir diye düşünüyorum.