Genelleştirilmiş JBMO 2024 #1

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 1
$a_1,a_2,\cdots,a_n$ ($n\geq 2$) pozitif reel sayıları
$$\sum_{cyc}{a_1^{n-1}}=\dfrac{1}{\left(n-1\right)^{n-1}}$$
eşitliğini sağlasınlar. Buna göre
$$\sum_{cyc}{\dfrac{1}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_{n-1}^2}}}\leq \dfrac{\sqrt{n}}{\prod\limits_{cyc}{\left(a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}\right)}}$$
olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$$n=3$$
verildiğinde problem JBMO 2024 #1'e dönüşür. Bu durumda problem koşulu da  $a^2+b^2+c^2=\dfrac{1}{4}$  halini alır.