Baltic Way 2014 #4 fonksiyonel denklemi {çözüldü}

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Her $x,y$ reel sayıları için

$$f(f(y))+f(x-y)=f(xf(y)-x)$$

koşulunu sağlayan tüm $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tanımlanmış $f$ fonksiyonlarını bulunuz.

[alpercay]

Ara işlemleri atlayarak her $x\in\mathbb{R}$ için $f(x)=0$ fonksiyonunun denklemi sağladığını gösterelim.

Fonksiyonel denklemde $x=y=0$ alırsak $$f(f(0))=0$$ elde edilir. Denklemde $x=0, y=f(0)$ alırsak $$f(-f(0))=0$$ bulunur. Denklemde $x=y=f(0)$ koyarsak $$f(0)=0$$ elde olunur. Bunları kullanarak ve denklemde $y=0$ yazarak her $x\in\mathbb{R}$ için  $$f(x)=f(-x)$$ olduğu yani fonksiyonun çift olduğu görülür. Yine denklemden $$f(x-y)=f(xf(y)-x)-f(f(y))$$ eşitliğinde $y$ yerine $-y$ yazarak ve fonksiyonun çiftliğini kullanarak $$f(x+y)=f(xf(y)-x)-f(f(y))$$ yani $$f(x+y)=f(x-y)$$ bulunur. Bu eşitlikte $x=y=\dfrac x 2$ için $$f(0)=f(x)=0$$ olduğu bulunur.