Gönderen Konu: Baltic Way 2014 #4 fonksiyonel denklemi {çözüldü}  (Okunma sayısı 2366 defa)

Çevrimdışı Hüseyin Yiğit EMEKÇİ

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 795
  • Karma: +2/-0
Baltic Way 2014 #4 fonksiyonel denklemi {çözüldü}
« : Haziran 25, 2024, 02:16:13 öö »
Her $x,y$ reel sayıları için

$$f(f(y))+f(x-y)=f(xf(y)-x)$$

koşulunu sağlayan tüm $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tanımlanmış $f$ fonksiyonlarını bulunuz.
« Son Düzenleme: Haziran 25, 2024, 03:42:49 ös Gönderen: Hüseyin Yiğit EMEKÇİ »
''Uzman, çok dar bir alanda yapılabilecek tüm hataları yapmış kişidir.''   ~Niels Bohr

Çevrimdışı alpercay

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 970
  • Karma: +14/-0
Ynt: Baltic Way 2014 #4 fonksiyonel denklemi
« Yanıtla #1 : Haziran 25, 2024, 03:31:50 ös »
Ara işlemleri atlayarak her $x\in\mathbb{R}$ için $f(x)=0$ fonksiyonunun denklemi sağladığını gösterelim.

Fonksiyonel denklemde $x=y=0$ alırsak $$f(f(0))=0$$ elde edilir. Denklemde $x=0, y=f(0)$ alırsak $$f(-f(0))=0$$ bulunur. Denklemde $x=y=f(0)$ koyarsak $$f(0)=0$$ elde olunur. Bunları kullanarak ve denklemde $y=0$ yazarak her $x\in\mathbb{R}$ için  $$f(x)=f(-x)$$ olduğu yani fonksiyonun çift olduğu görülür. Yine denklemden $$f(x-y)=f(xf(y)-x)-f(f(y))$$ eşitliğinde $y$ yerine $-y$ yazarak ve fonksiyonun çiftliğini kullanarak $$f(x+y)=f(xf(y)-x)-f(f(y))$$ yani $$f(x+y)=f(x-y)$$ bulunur. Bu eşitlikte $x=y=\dfrac x 2$ için $$f(0)=f(x)=0$$ olduğu bulunur.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal