Hong Kong TST 2024 #1.5 {çözüldü}

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$$\dfrac{4a+9b+25c}{2a+3b+5c}+\dfrac{4b+9c+25a}{2b+3c+5a}+\dfrac{4c+9a+25b}{2c+3a+5b}=10$$

eşitliğini sağlayan tüm $(a,b,c)$  negatif olmayan reel üçlülerini bulunuz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Paydaki $a,b,c$  katsayılarının sırasıtla paydadakilerin karesi olduğuna dikkat edecek olursak problemin Cauchy-Schwarz uygulamaya müsait olduğunu söyleyebiliriz. Ana motivasyonumuz budur. Buna göre

$$\left(2a+3b+5c\right)^2\leq \left(4a+9b+25c\right)\left(a+b+c\right)$$
$$\Longleftrightarrow LHS=\sum_{cyc}{\dfrac{4a+9b+25c}{2a+3b+5c}}\geq \sum_{cyc}{\dfrac{2a+3b+5c}{a+b+c}}=10$$

olarak elde edilir. İfadeyi C-S eşitlik durumu sağlar ki bu ise $a,b,c=(0,0,k)$ ve permütasyonlarında sağlanır.