Gönderen Konu: Keloğlan ve cüceler  (Okunma sayısı 4728 defa)

Çevrimdışı NazifYILMAZ

  • G.O Sevecen Üye
  • ****
  • İleti: 82
  • Karma: +0/-0
Keloğlan ve cüceler
« : Haziran 21, 2024, 07:57:26 ös »
Kombinatorik sorusu yardımcı olabilir misiniz arkadaşlar:

$29$ gün bir çiftlikte konaklayan Keloğlan'ın her biri $N$ tane şeker içeren $29$ tane torbası bulunuyor. Bu $29$ günün her birinde en az iki cüceden oluşan bir cüce grubu Keloğlan'ı ziyaret ediyor ve Keloğlan bir torbadaki bütün şekerleri o günkü misafir cücelere eşit olarak dağıtıyor. Herhangi iki günde Keloğlan'ı ziyaret eden cüce sayıları farklıysa, $N$ sayısının alabileceği en küçük değerin ondalık tabanda yazılımındaki rakamların toplamı kaçtır?

A) 9
B) 14
C) 21
D) 29



Not: Resim çok büyük olduğu için okunamıyordu. Resmi kaldırıp yazı formatında düzenledim. Forum kurallarında belirtildiği şekilde resim büyüklüklerine dikkat edelim lütfen (L. Gökçe).
« Son Düzenleme: Haziran 22, 2024, 12:04:19 öö Gönderen: Lokman Gökçe »

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3.716
  • Karma: +23/-0
  • İstanbul
Ynt: Keloğlan ve cüceler
« Yanıtla #1 : Haziran 22, 2024, 12:01:50 öö »
Kullanılan çözüm yöntemi düşünülünce, aslında bir sayılar teorisi sorusudur.


Yanıt: $\boxed{A}$

Her biri $1$'den büyük $29$ farklı pozitif tam sayı $N$'yi tam bölecektir. $1$ de $N$'nin bir böleni olduğundan $N$'nin en az $30$ pozitif tam böleni vardır. $N = p^xq^yr^zs^t$ gibi asal çarpanlarına ayrılmış olsun. ($N$ daha az veya daha fazla sayıda asal çarpana da sahip olabilir.) $N$'nin pozitif tam bölenlerinin sayısını $d(N)$ ile gösterelim.

$\bullet$ $d(N) = 30$ ise $(x + 1)(y + 1)(z + 1) = 30$ yazılırsa $N$'nin en küçük değeri $N_{\min} = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5 = 720$ olur.

$\bullet$ $d(N) = 31$ ise $N_{\min} = 2^{30}$ olur. Fakat $2^{30} > 720$ dir.


$\bullet$ $d(N) = 32$ olsun.
$(x + 1)(y + 1)(z + 1) = 32$ için $x=3, y=3, z=1$ veya $x=7, y= z = 1$ olabilir. Buradan $N_{\min} = 2^4 \cdot 3^4 \cdot 5$ veya $ N_{\min} = 2^8 \cdot 3 \cdot 5$ olur. Fakat bu değerler de $720$'den büyüktür.
$(x + 1)(y + 1)(z + 1)(t + 1) = 32$ için $x=3, y=1, z=1, t = 1$ olur. $N_{\min} = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 840$ olup $720$'den büyüktür.
$(x + 1)(y + 1)(z + 1)(t + 1)(v + 1) = 32$ için $x=1, y=1, z=1, t = 1, v = 1$ olur. $N_{\min} = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 = 2310$ olup $720$'den büyüktür.


$\bullet$ $d(N) = 33, 34$ veya $35$ iken $720$'den daha büyük $N$ değerleri elde edeceğimiz kolayca görülebilir. $d(N) \geq 36$ durumlarını düşünebiliriz.

$N$'nin $4$ asal çarpan içermesi durumunda, en küçük asalın kuvveti en az $2$ olmalıdır. Bu halde $N\geq 840$ olur. $N$'nin en az $5$ asal çarpan içermesi durumunda, $N\geq 2310$ olur. Tüm bu durumları göz önüne aldığımızda $N_{\min} = 720$ elde edilir. $7 + 2 + 0 = 9$ bulunur.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı NazifYILMAZ

  • G.O Sevecen Üye
  • ****
  • İleti: 82
  • Karma: +0/-0
Ynt: Keloğlan ve cüceler
« Yanıtla #2 : Haziran 22, 2024, 12:17:33 öö »
Teşekkür ederim Lokman hocam

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal