Genelleştirilmiş Pham Kim Hung'un Eşitsizliği, Secrets in Inequalities P. 1.1.5

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 1
Her $1\leq i\leq n$ tam sayısı için $a_i+a_{i+1}+\cdots+a_{i-2}>a_{i-1}$ koşulu sağlayan $a_1,a_2,\cdots,a_n$ ($3\leq n<6$) pozitif reelleri için $a_1+a_2+\cdots+a_n=\sqrt{\dfrac{n\left(6-n\right)}{n-2}}$ ise


$$\sum_{1\leq j_1<j_2<\cdots<j_{n-2}\leq n}{\left(\dfrac{1}{\sqrt{\prod\limits_{k=1}^{n-1}{\left(a_{j_k}+a_{j_k+1}+\cdots+a_{j_k-2}-a_{j_k-1}\right)}}}\right)}
\geq \dfrac{n^2\left(n-1\right)}{2\left(n-2\right)\left(\sum\limits_{sym}{a_1a_2}\right)}$$


olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$$n=3$$
verildiğinde $a+b+c=3$, $a,b,c$ herhangi bir üçgenin kenarları olur ve problem Pham Kim Hung'un Eşitsizliği, Secrets in Inequalities Problem 1.1.5'e dönüşür ve

$$LHS\geq \dfrac{n^2\left(n-1\right)}{2\left(n-2\right)\left(\sum\limits_{sym}{a_1a_2}\right)}=\dfrac{9}{ab+bc+ca}$$

olarak elde edilir.