$2024=2^3\cdot 11\cdot 23$'dür. Dolayısıyla, $a\geq 11$ olursa $11\mid a!+2024$ olacaktır. Bir pozitif tamsayının en az $2$. kuvveti olduğundan $11^2\mid a!+2024$'dür. Bu durumda $a<22$ olmalıdır çünkü aksi takdirde $a!+2024\equiv 88\pmod{11^2}$ çelişkisi elde edilir.
$a\geq 11$ durumuna devam edersek, $$\frac{a!+2024}{11}\equiv 0\pmod{11}\implies 10!\cdot \underset{\text{bu kısım boş da olabilir}}{\underbrace{12\cdot 13\cdots a}}+184\equiv 0\pmod{11}$$ $$\implies (-1)\cdot (a-11)!\equiv -184\equiv 3\pmod{11}\implies (a-11)!\equiv 8\pmod{11}$$ bulunur. $0\leq a-11\leq 10$ olduğundan $1!,2!,\dots,10!$'i incelemeliyiz, ancak $7!$'den sonrasında Wilson teoremi kullanmak daha faydalı olacaktır çünkü bu teoremden $10!\equiv -1\pmod{11}$, $9!\equiv 1\pmod{11}$ ve $8!\equiv 9^{-1}\equiv 5\pmod{11}$ olduğu kolayca hesaplanabilir. Bu sayıların hiçbiri $8$ kalanı vermediğinden çözüm yoktur.
$a=1,2,3,4,5,6,7$ için denenirse, $1!+2024=45^2$; $4!+2024=2^{11}$; $6!+2024=14^3$ bulunur.
$8\leq a\leq 10$ için elle denemek uzun gelebilir ancak küçük modlar çelişki vermediğinden dolayı elle deneme daha mantıklıdır ve incelenirse çözüm gelmediği görülebilir. Yine de işleri kolaylaştırmak adına şu gözlem de yapılabilir; $a!$ sayısı $2,4,6,8$ çarpanlarını içerdiğinden $2^7$'e bölünür ancak $2024$ sayısı $2^3$'ne bölündüğünden $2^3\mid a!+2024$ ve $2^4\nmid a!+2024$ olacaktır. Bu da eğer bu $a$ değerlerinden biri çözümse, $a!+2024$'ün tamküp olması gerektiğini gösterir.
Sonuç olarak sadece $a=1,4,6$ değerleri $a!+2024$'ü bir pozitif tamsayının $1$'den büyük bir kuvveti yapar.
