$ax+by$ formatında yazılamayan sayılar

[Metin Can Aydemir]

$a$ ve $b$ aralarında asal pozitif tamsayılar olsun. $x$ ve $y$ doğal sayılar olmak üzere

$a)$ $ax+by$ formatında yazılamayan en büyük sayı $ab-a-b$'dir.
$b)$ $ax+by$ formatında yazılamayan tam olarak $\frac{1}{2}(a-1)(b-1)$ doğal sayı vardır.
$c)$ $0\leq t\leq ab-a-b$ olan bir tamsayı $ax+by$ formatında yazılabilir ancak ve ancak $ab-a-b-t$, bu formatta yazılamaz.

[alpercay]

$a)$ seçeneği için Sayılar Teorisinde İlginç Olimpiyat Problemleri adlı kitapta verilen çözümü aktaralım:

   $ax+by=c$  denkleminin $c\ge ab-a-b+1=(a-1)(b-1)$ için negatif olmayan tamsayılar kümesi $\mathbb{N_0}$ da çözümü olduğunu gösterirsek denklemi sağlamayan en büyük tamsayının $ab-a-b$ olduğunu söylemiş oluruz.

 
Çin kalan teoreminden $$n\equiv 0\mod b, n\equiv c\mod a$$ olacak şekilde $n\in[0,ab)$ vardır; yani $n=by=c-ax$ olacak şekilde $x,y\in\mathbb{Z}$ vardır.


 $0\le n=by\le ab$ olduğundan $0\le y\le a-1$ ve $n\lt ab$  ise  $n\le ab-b=b(a-1)$ olduğunu söyleyebiliriz.



Diğer taraftan  $$n=by=c-ax\le b(a-1)$$  ve  $$c\ge (a-1)(b-1)$$ eşitsizliklerinden  $$ax\ge c-b(a-1)\ge (a-1)(b-1)-b(a-1) $$  $$ax\ge1-a\gt -a$$  $$x\gt -1$$ yani  $x\ge 0$ elde edilir.
 
Böylece $x,y\in\mathbb{N_0}$  ikilisi verilen denklemin negatif olmayan tamsayı çözümleri olur.