Romanya JBMO TST 2018 #5.2 {çözüldü}

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Her $a,b,c$ pozitif reelleri için


$$\dfrac{a}{\sqrt{\left(a+2b\right)^3}}+\dfrac{b}{\sqrt{\left(b+2c\right)^3}}+\dfrac{c}{\sqrt{\left(c+2a\right)^3}}\geq \dfrac{1}{\sqrt{a+b+c}}$$


olduğunu gösteriniz.

[ygzgndgn]

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^3}}$ fonksiyonu konvekstir. Eşitsizliği
$$\sum_{cyc} af(a+2b) \geq f(\sqrt[3]{a+b+c})$$ olarak yazabiliriz. Jensen Eşitsizliğinden
$$\sum_{cyc} af(a+2b) \geq (a+b+c)\cdot f\left(\frac{\sum_{cyc} a(a+2b)}{a+b+c}\right)=(a+b+c)\cdot f(a+b+c)$$ gelir. $\sqrt[3]{a+b+c}=x$ dersek
$$x^3f(x^3)=\frac{x^3}{\sqrt{x^9}}=f(x)$$ olduğunu görürüz. İspat biter.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Farklı bir çözüm verelim. Holder Eşitsizliği'ni kullandığımızda
$$LHS^2.\sum_{cyc}{a}=\left(\sum_{cyc}{\dfrac{a}{\sqrt{\left(a+2b\right)^3}}}\right)^2\left(\sum_{cyc}{a}\right)\geq \left(\sum_{cyc}{\dfrac{a}{a+2b}}\right)^3\overbrace{\geq}^{?} 1$$
$$\Longleftrightarrow \sum_{cyc}{\dfrac{a}{a+2b}}\geq 1$$
sondaki ifade Titu Eşitsizliği'nden açıktır.