Genelleştirilmiş Romanya JBMO TST 2015 #1.3

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 1
Her $x,y,z$ pozitif reelleri için ve $|r|\geq 1$ tam sayısı için


$$\dfrac{x^3+3\left(r^2-1\right)xy^2}{z^3+x^2y}+\dfrac{y^3+3\left(r^2-1\right)yz^2}{x^3+y^2z}+\dfrac{z^3+3\left(r^2-1\right)zx^2}{y^3+z^2x}\geq \dfrac{3}{2}\left[r+\dfrac{\left(r-1\right)\left(3r+2\right)xyz\left(x+y+z\right)}{2\left(x^3y+y^3z+z^3x\right)}\right]$$


olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$$r=1$$
verildiğinde problem Romanya JBMO TST 2015 #1.3'e dönüşür ve minimum değer $\dfrac32$ olarak elde edilir.